Η ευθεία περνά από ένα σημείο P και περιστρέφεται μια πλήρη στροφή (0°–360°).
Οι κορυφές του τριγώνου και το σημείο P είναι μετακινούμενα με drag & drop.
Θεωρία: Υπάρχει πάντα ευθεία από P που μοιράζει το τρίγωνο σε ίσα εμβαδά
Πρόβλημα. Δίνεται τρίγωνο ABC και ένα εσωτερικό σημείο P.
Να δείξετε ότι υπάρχει ευθεία που περνά από το P και χωρίζει το τρίγωνο σε δύο μέρη με ίσο εμβαδό.
1. Ορίζουμε μια συνάρτηση f(θ)
Θεωρούμε όλες τις ευθείες που περνούν από το P. Κάθε τέτοια ευθεία περιγράφεται από τη γωνία της θ
(π.χ. ως προς τον οριζόντιο άξονα).
- E₁(θ): εμβαδό του μέρους του τριγώνου στη μία πλευρά της ευθείας
- E₂(θ): εμβαδό του μέρους στην άλλη πλευρά
Ορίζουμε f(θ) = E₁(θ) − E₂(θ). Θέλουμε να βρούμε θ* τέτοιο ώστε
f(θ*) = 0, δηλαδή E₁(θ*) = E₂(θ*).
2. Η f(θ) είναι συνεχής
Καθώς περιστρέφουμε την ευθεία λίγο–λίγο, τα σημεία τομής της με τις πλευρές του τριγώνου μετακινούνται συνεχώς,
άρα και τα εμβαδά E₁(θ), E₂(θ) αλλάζουν συνεχώς. Έτσι και η διαφορά
f(θ) = E₁(θ) − E₂(θ) είναι μια συνεχής συνάρτηση του θ.
3. Σχέση f(θ + π) = −f(θ)
Αν αυξήσουμε τη γωνία κατά 180°, η ευθεία έχει τα ίδια γεωμετρικά σημεία, αλλάζει μόνο το τι ονομάζουμε
«αριστερά» και «δεξιά». Έτσι:
- E₁(θ + π) = E₂(θ)
- E₂(θ + π) = E₁(θ)
Άρα f(θ + π) = E₁(θ + π) − E₂(θ + π) = E₂(θ) − E₁(θ) = −f(θ).
4. Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών
Αν για κάποια γωνία θ₀ ισχύει f(θ₀) > 0, τότε:
f(θ₀ + π) = −f(θ₀) < 0.
Έχουμε λοιπόν μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [θ₀, θ₀ + π], με τιμές
θετικές στο ένα άκρο και αρνητικές στο άλλο.
Με το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών υπάρχει τουλάχιστον ένα
θ* στο (θ₀, θ₀ + π) τέτοιο ώστε f(θ*) = 0.
Άρα E₁(θ*) = E₂(θ*) και η αντίστοιχη ευθεία από το P μοιράζει το τρίγωνο σε δύο ίσα εμβαδά.
5. Ειδική περίπτωση: P = βαρύκεντρο G
Αν το σημείο P είναι το βαρύκεντρο G του τριγώνου, τότε κάθε
διάμεσος (από κορυφή προς μέσο της απέναντι πλευράς):
- περνά από το βαρύκεντρο
- χωρίζει το τρίγωνο σε δύο μέρη με ίσο εμβαδό
Έτσι, στην προσομοίωση, όταν επιλέγουμε το G ως σημείο P, υπάρχουν τρεις τέτοιες
ευθείες (οι τρεις διάμεσοι).