Μάθημα 9 Αλληλεπιδράσεις, S-matrix και \(\lambda\phi^4\)
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: πώς περνάμε από το ελεύθερο πεδίο στις αλληλεπιδράσεις,
τι είναι S-matrix, τι είναι διαταρακτική ανάπτυξη Dyson, πώς εμφανίζονται οι κορυφές και πώς
γεννιούνται οι πρώτοι κανόνες Feynman στη θεωρία \(\lambda\phi^4\).
Κεντρικός στόχος
Μέχρι τώρα μελετήσαμε το ελεύθερο πεδίο: προπαγανδιστές, σωματίδια, χώρο Fock.
Σήμερα προσθέτουμε αλληλεπίδραση. Το απλούστερο πρότυπο είναι:
\[
\mathcal L
=
\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi
-
\frac12m^2\phi^2
-
\frac{\lambda}{4!}\phi^4
\]
Ο όρος \(\lambda\phi^4\) επιτρέπει σωματίδια να σκεδάζονται. Η διαταρακτική θεωρία
οργανώνει τους υπολογισμούς σε κορυφές και προπαγανδιστές.
Θα δούμε γιατί η αλληλεπίδραση σημαίνει μη γραμμικότητα.
Θα ορίσουμε την S-matrix ως πλάτος μετάβασης από αρχικές σε τελικές καταστάσεις.
Θα αναπτύξουμε τη Dyson expansion σε δυνάμεις του \(\lambda\).
Θα συνδέσουμε τον προπαγανδιστή με γραμμές και το \(-i\lambda\) με κορυφές.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Αυτό το μάθημα ανοίγει την πόρτα στη διαταρακτική QFT. Στο επόμενο μάθημα μπορούμε
να δουλέψουμε πιο συστηματικά τα διαγράμματα Feynman και τον υπολογισμό πλατών σκέδασης.
Οδηγίες χρήσης
Διάβασε πρώτα τις ενότητες 1–7. Η ενότητα 5 είναι η πιο αφηρημένη, επειδή εισάγει το Wick.
Στις λυμένες ασκήσεις θα βρεις ξανά τα ίδια βήματα πιο πρακτικά.
Το αρχείο είναι αυτόνομη HTML σελίδα με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Γιατί χρειαζόμαστε αλληλεπιδράσεις;
1.1 Τι περιγράφει η ελεύθερη θεωρία;
Το ελεύθερο πραγματικό βαθμωτό πεδίο έχει Λαγκρανζιανή:
Στην κβαντική εικόνα, αυτό περιγράφει σωματίδια που διαδίδονται χωρίς να επηρεάζουν το ένα το άλλο.
1.2 Τι λείπει;
Στην πραγματική φυσική τα σωματίδια αλληλεπιδρούν: σκεδάζονται, δημιουργούνται, καταστρέφονται,
μεταφέρουν ορμή και ενέργεια. Για να το περιγράψουμε, πρέπει η Λαγκρανζιανή να έχει επιπλέον όρους.
Το \(S^{(1)}\) είναι πρώτης τάξης στη \(\lambda\) και έχει μία κορυφή.
Το \(S^{(2)}\) είναι δεύτερης τάξης και έχει δύο κορυφές.
Τάξη
Όροι
Διαγραμματική εικόνα
\(\lambda^0\)
ελεύθερη διάδοση
γραμμές
\(\lambda^1\)
μία \(\phi^4\) κορυφή
ένα σημείο με 4 γραμμές
\(\lambda^2\)
δύο κορυφές
δύο σημεία, πιθανές εσωτερικές γραμμές
4.5 Διαταρακτική λογική
Αν η \(\lambda\) είναι μικρή, ελπίζουμε ότι οι πρώτοι όροι δίνουν καλή προσέγγιση:
\[
S=S^{(0)}+S^{(1)}+S^{(2)}+\cdots
\]
Η διαταρακτική σειρά στην QFT συνήθως δεν είναι συγκλίνουσα με την απλή μαθηματική έννοια.
Παρ' όλα αυτά μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμη ως ασυμπτωτική ανάπτυξη.
Ενότητα 5 — Wick και συστολές
5.1 Το πρόβλημα
Στη Dyson expansion εμφανίζονται χρονικά διατεταγμένα γινόμενα πολλών πεδίων:
Το θεώρημα Wick λέει ότι ένα χρονικά διατεταγμένο γινόμενο ελεύθερων πεδίων μπορεί να γραφτεί
ως normal ordered γινόμενο συν όλες τις δυνατές συστολές.
Κάθε συστολή συνδέει δύο πεδία. Διαγραμματικά είναι μια γραμμή.
Οι όροι \(\phi^4(x)\) δημιουργούν κορυφές με τέσσερα πόδια.
γραμμή = προπαγανδιστής D_F
x •────────• y
κορυφή λφ⁴ = σημείο με 4 πόδια
|
----•----
|
Το Wick είναι ο μηχανισμός που μετατρέπει αλγεβρικά γινόμενα πεδίων σε διαγράμματα Feynman.
Ενότητα 6 — Πρώτοι κανόνες Feynman στη \(\lambda\phi^4\)
6.1 Τα βασικά δομικά στοιχεία
Στοιχείο
Παράγοντας
εσωτερική γραμμή με ορμή \(p\)
\(\displaystyle \frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}\)
κορυφή \(\phi^4\)
\(-i\lambda\)
διατήρηση ορμής στην κορυφή
\((2\pi)^4\delta^4(\sum p)\)
ολοκλήρωση εσωτερικής ορμής
\(\displaystyle \int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\)
6.2 Γιατί η κορυφή έχει 4 πόδια;
Ο όρος αλληλεπίδρασης είναι \(\phi^4\). Άρα σε κάθε σημείο αλληλεπίδρασης υπάρχουν τέσσερα πεδία,
δηλαδή τέσσερις γραμμές που μπορούν να συνδεθούν.
6.3 Πλάτος \(2\to2\) στο tree level
Η απλούστερη διαδικασία είναι:
\[
p_1+p_2\to p_3+p_4
\]
Στην πρώτη τάξη στη \(\lambda\), υπάρχει ένα διάγραμμα με μία κορυφή:
p3
\
p1 ------•------ p4
/
p2
Το πλάτος είναι:
\[
\boxed{\mathcal M=-i\lambda}
\]
μαζί με τον συνολικό παράγοντα διατήρησης τετραορμής:
\[
(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)
\]
6.4 Τι είναι tree level;
Tree level σημαίνει ότι το διάγραμμα δεν έχει κλειστούς βρόχους.
Είναι η χαμηλότερη διαταρακτική προσέγγιση.
6.5 Τι είναι loop;
Αν σε ένα διάγραμμα υπάρχει κλειστός κύκλος εσωτερικών γραμμών, τότε πρέπει να ολοκληρώσουμε
σε εσωτερική ορμή. Αυτό είναι loop correction.
Οι κανόνες Feynman είναι συνταγή: από ένα διάγραμμα γράφεις ένα μαθηματικό ολοκλήρωμα.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία
7.1 Τι είναι κορυφή;
Μια κορυφή δεν είναι κλασικό σημείο σύγκρουσης με μικρές μπίλιες.
Είναι ένας όρος της Λαγκρανζιανής που επιτρέπει σε πεδιακές διεγέρσεις να αλληλεπιδράσουν.
7.2 Τι είναι εσωτερική γραμμή;
Εσωτερική γραμμή σημαίνει προπαγανδιστής. Η ορμή της εσωτερικής γραμμής δεν χρειάζεται να είναι on-shell:
\[
p^2\neq m^2
\]
Γι' αυτό συχνά λέμε ότι αντιστοιχεί σε εικονικό σωματίδιο.
7.3 Τι είναι εξωτερική γραμμή;
Εξωτερικές γραμμές αντιστοιχούν σε πραγματικά εισερχόμενα ή εξερχόμενα σωματίδια.
Αυτά είναι on-shell:
\[
p^2=m^2
\]
7.4 Τι μετρά το \(\mathcal M\);
Το \(\mathcal M\) είναι το invariant amplitude. Από αυτό, με κατάλληλους κινηματικούς παράγοντες,
υπολογίζουμε πιθανότητες σκέδασης και διατομές.
7.5 Το μεγάλο μήνυμα
Η διαταρακτική QFT οργανώνει την αλληλεπίδραση ως σειρά:
\[
\text{γραμμές διάδοσης}
+
\text{κορυφές αλληλεπίδρασης}
+
\text{άθροισμα όλων των δυνατών διαγραμμάτων}
\]
Δεν υπολογίζουμε τροχιές. Υπολογίζουμε πλάτη πιθανότητας για διαδικασίες μεταξύ αρχικών και τελικών καταστάσεων.
Άσκηση 6 — Tree-level \(2\to2\) στη \(\lambda\phi^4\)
Να βρεθεί το invariant amplitude στην πρώτη τάξη.
Λύση
Η διαδικασία \(2\to2\) στην πρώτη τάξη έχει μία κορυφή \(\phi^4\).
Ο κανόνας κορυφής είναι:
\[
-i\lambda
\]
Άρα:
\[
\boxed{\mathcal M=-i\lambda}
\]
Το πλήρες στοιχείο S-matrix περιέχει και:
\[
(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)
\]
Άσκηση 7 — Ποια είναι η γραμμή Feynman;
Ποιος είναι ο παράγοντας μιας εσωτερικής γραμμής στη θεωρία Klein–Gordon;
Λύση
Κάθε εσωτερική γραμμή με τετραορμή \(p\) δίνει τον Feynman propagator:
\[
\boxed{
\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}
}
\]
Άσκηση 8 — Γιατί ολοκληρώνουμε σε εσωτερικές ορμές;
Εξηγήστε γιατί σε loop διαγράμματα εμφανίζεται:
\[
\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}
\]
Λύση
Σε ένα loop υπάρχει εσωτερική ορμή που δεν καθορίζεται πλήρως από τις εξωτερικές ορμές και τη διατήρηση
ορμής στις κορυφές. Επειδή αυτή η ορμή μπορεί να πάρει όλες τις τιμές, πρέπει να την ολοκληρώσουμε: