Ο advanced προπαγανδιστής είναι μηδέν αν το \(x\) είναι μετά από το \(y\):
Στη διαταρακτική QFT και στα διαγράμματα Feynman χρησιμοποιούμε κυρίως τον Feynman propagator:
Όλοι οι προπαγανδιστές λύνουν συγγενείς εξισώσεις, αλλά αντιστοιχούν σε διαφορετικές συνοριακές συνθήκες.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Green function και πηγή
Δείξτε ότι αν:
\[
(\Box_x+m^2)G(x-y)=\delta^4(x-y)
\]
τότε:
\[
\phi(x)=\int d^4y\,G(x-y)J(y)
\]
λύνει \((\Box+m^2)\phi=J\).
Λύση
\[
(\Box_x+m^2)\phi(x)
=
\int d^4y\,(\Box_x+m^2)G(x-y)J(y)
\]
\[
=
\int d^4y\,\delta^4(x-y)J(y)
=
J(x)
\]
Άσκηση 2 — Fourier μορφή του Green function
Υποθέτουμε:
\[
G(x)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\tilde G(p)e^{-ipx}
\]
Βρείτε \(\tilde G(p)\) από \((\Box+m^2)G(x)=\delta^4(x)\).
Λύση
Επειδή:
\[
\Box e^{-ipx}=-p^2e^{-ipx}
\]
έχουμε:
\[
(\Box+m^2)G(x)
=
\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}
(-p^2+m^2)\tilde G(p)e^{-ipx}
\]
Επίσης:
\[
\delta^4(x)=
\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ipx}
\]
Άρα:
\[
(-p^2+m^2)\tilde G(p)=1
\]
\[
\tilde G(p)=\frac{1}{m^2-p^2}
\]
Για τον Feynman propagator χρησιμοποιούμε τη συμβατική μορφή:
\[
\boxed{
D_F(p)=\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}
}
\]
Η διαφορά παραγόντων \(i\) και πρόσημων εξαρτάται από τον ορισμό του Green function στη Minkowski δράση.
Άσκηση 3 — Χρονική διάταξη
Γράψτε \(T\{\phi(x)\phi(y)\}\) με συναρτήσεις \(\theta\).
Λύση
\[
\boxed{
T\{\phi(x)\phi(y)\}
=
\theta(x^0-y^0)\phi(x)\phi(y)
+
\theta(y^0-x^0)\phi(y)\phi(x)
}
\]
Άσκηση 4 — Υπολογισμός \(\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle\)
Δείξτε ότι:
\[
\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle
=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\frac{e^{-ip(x-y)}}{2E_{\mathbf p}}
\]
για \(p^0=E_{\mathbf p}\).
Λύση
Στο γινόμενο πεδίων, ο μόνος όρος που επιβιώνει στο κενό είναι:
\[
a_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}
\]
επειδή:
\[
a_{\mathbf p}|0\rangle=0,
\qquad
\langle0|a^\dagger_{\mathbf q}=0
\]
και:
\[
\langle0|a_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}|0\rangle
=
(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
Άρα ολοκληρώνοντας στο \(\mathbf q\):
\[
\boxed{
\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle
=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\frac{e^{-ip(x-y)}}{2E_{\mathbf p}}
}
\]
Άσκηση 5 — Θέσεις των πόλων
Βρείτε τους πόλους του:
\[
\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}
\]
Λύση
Ο παρονομαστής είναι:
\[
(p^0)^2-\mathbf p^2-m^2+i\epsilon
=
(p^0)^2-E_{\mathbf p}^2+i\epsilon
\]
Οι πόλοι μετακινούνται ως:
\[
\boxed{
p^0=E_{\mathbf p}-i\epsilon,
\qquad
p^0=-E_{\mathbf p}+i\epsilon
}
\]
πιο αυστηρά, το \(\epsilon\) εδώ συμβολίζει απειροστή μετατόπιση με κατάλληλο πρόσημο.
Άσκηση 6 — On-shell και off-shell
Εξηγήστε τη διαφορά ανάμεσα σε on-shell και off-shell ορμή.
Λύση
On-shell σημαίνει ότι η τετραορμή ικανοποιεί τη φυσική σχέση μάζας:
\[
p^2=m^2
\]
δηλαδή:
\[
E^2=\mathbf p^2+m^2
\]
Off-shell σημαίνει:
\[
p^2\neq m^2
\]
Οι εσωτερικές γραμμές στα διαγράμματα Feynman γενικά είναι off-shell.
Άσκηση 7 — Γιατί ο προπαγανδιστής έχει πόλο στο \(p^2=m^2\);
Δώστε φυσική ερμηνεία.
Λύση
Ο παρονομαστής:
\[
p^2-m^2
\]
μηδενίζεται όταν:
\[
p^2=m^2
\]
δηλαδή όταν η ορμή αντιστοιχεί σε πραγματικό ελεύθερο σωματίδιο μάζας \(m\).
Ο πόλος δείχνει ότι η θεωρία έχει φυσική διέγερση με αυτή τη μάζα.
Άσκηση 8 — Μαζικό και άμαζο προπαγανδιστικό όριο
Γράψτε τον προπαγανδιστή για \(m=0\).
Λύση
Από:
\[
D_F(p)=\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}
\]
για \(m=0\):
\[
\boxed{
D_F(p)=\frac{i}{p^2+i\epsilon}
}
\]
Μαθηματικό συμπλήρωμα μαθήματος 8
Μ1. Fourier αναπαράσταση της δέλτα
\[
\delta^4(x-y)=
\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip(x-y)}
\]
Μ2. Δράση του \(\Box\) σε επίπεδο κύμα
\[
\partial_\mu e^{-ipx}=-ip_\mu e^{-ipx}
\]
\[
\Box e^{-ipx}
=
\partial_\mu\partial^\mu e^{-ipx}
=
-p_\mu p^\mu e^{-ipx}
=
-p^2e^{-ipx}
\]
Μ3. Συνάρτηση Heaviside
\[
\theta(t)=
\begin{cases}
1, & t>0,\\
0, & t<0.
\end{cases}
\]
Στις διανομές:
\[
\frac{d\theta(t)}{dt}=\delta(t)
\]
Μ4. Πόλοι του Feynman propagator
Ο παρονομαστής:
\[
(p^0)^2-E_{\mathbf p}^2+i\epsilon
\]
δίνει πόλους κοντά στα:
\[
p^0=\pm E_{\mathbf p}
\]
Μ5. Βασική ιδέα contour integration
Για ολοκληρώματα:
\[
\int_{-\infty}^{\infty}dp^0\,f(p^0)e^{-ip^0t}
\]
το πρόσημο του \(t\) καθορίζει σε ποιο ημιεπίπεδο κλείνουμε το contour ώστε το εκθετικό να σβήνει.
Μ6. Distribution identity
Χρήσιμη ταυτότητα:
\[
\frac{1}{x\pm i\epsilon}
=
\mathcal{P}\frac{1}{x}
\mp i\pi\delta(x)
\]
όπου \(\mathcal P\) είναι κύρια τιμή Cauchy.
Μ7. Lorentz invariant measure on-shell
Το μέτρο:
\[
\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}}
\]
είναι το σχετικιστικό on-shell μέτρο ολοκλήρωσης.
Μ8. Συμβάσεις προσημών
Αν χρησιμοποιήσεις μετρική \((- ,+,+,+)\), ο παρονομαστής συχνά γράφεται με διαφορετικά πρόσημα:
\[
\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}
\]
μπορεί να εμφανιστεί ως:
\[
\frac{-i}{p^2+m^2-i\epsilon}
\]
ανάλογα με τη σύμβαση. Η φυσική πληροφορία βρίσκεται στη θέση των πόλων και στη συνταγή παράκαμψής τους.