Μάθημα 7
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: από το κενό \(|0\rangle\) και τους τελεστές
\(a_{\mathbf p}\), \(a^\dagger_{\mathbf p}\) στις μονοσωματιδιακές και πολυσωματιδιακές καταστάσεις,
στον χώρο Fock και στην ερμηνεία των σωματιδίων ως αριθμών κατάληψης τρόπων.
⛶ Fullscreen
Οδηγίες χρήσης
Λυμένες ασκήσεις
Μαθηματικό συμπλήρωμα
Ευρετήριο
Κεντρικός στόχος
Στο Μάθημα 6 είδαμε ότι το ελεύθερο πραγματικό βαθμωτό πεδίο γράφεται με τελεστές
δημιουργίας και καταστροφής. Τώρα χτίζουμε τον χώρο καταστάσεων πάνω στο κενό.
\[
a_{\mathbf p}|0\rangle=0,
\qquad
|\mathbf p\rangle=a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle,
\qquad
|\mathbf p,\mathbf q\rangle=a^\dagger_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}|0\rangle
\]
Έτσι περνάμε από το πεδίο στο λεξιλόγιο των σωματιδίων: αριθμοί κατάληψης, πολυσωματιδιακές
καταστάσεις και χώρος Fock.
Θα ορίσουμε
Θα χτίσουμε
Θα εξηγήσουμε
Θα συνδέσουμε
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Υπενθύμιση αρμονικού ταλαντωτή Η βάση \( |n\rangle \), οι \(a,a^\dagger\) και ο αριθμητικός τελεστής.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 2 Το κενό του πεδίου Ορισμός του \(|0\rangle\), κανονικοποίηση και ενέργεια κενού.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Μονοσωματιδιακές καταστάσεις Καταστάσεις ορμής, κανονικοποίηση και ιδιοτιμές \(H,\mathbf P\).
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Πολυσωματιδιακές καταστάσεις Μποζονική συμμετρία, πολλαπλή κατάληψη και παράγοντες κανονικοποίησης.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Χώρος Fock Άμεσο άθροισμα χώρων με 0, 1, 2, ... σωματίδια.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Κυματοπακέτα και εντοπισμός Γιατί οι καθαρές καταστάσεις ορμής δεν είναι εντοπισμένα σωματίδια.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Φυσική ερμηνεία Ταυτόσημα σωματίδια, αριθμοί κατάληψης και αλλαγή εικόνας από την κβαντομηχανική.
Άνοιγμα ενότητας →
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις Κανονικοποίηση, \(N\), \(H\), \(\mathbf P\), Fock states και wave packets.
Άνοιγμα →
Ενότητα
← Προηγ.
Επόμ. →
Κλείσιμο ✕
Οδηγίες χρήσης
Διάβασε πρώτα τις ενότητες 1–7, έπειτα τις λυμένες ασκήσεις και τέλος το μαθηματικό συμπλήρωμα.
Αυτό το μάθημα είναι κυρίως εννοιολογικό, αλλά οι κανονικοποιήσεις με δέλτα Dirac είναι σημαντικές.
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Υπενθύμιση: κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής
1.1 Γιατί ξαναγυρίζουμε στον ταλαντωτή;
Το ελεύθερο πεδίο, μετά από Fourier ανάλυση, ισοδυναμεί με άπειρο πλήθος αρμονικών ταλαντωτών.
Γι' αυτό η γλώσσα των \(a\), \(a^\dagger\) είναι η βασική γλώσσα της QFT.
1.2 Βασική άλγεβρα
Για έναν αρμονικό ταλαντωτή:
\[
[a,a^\dagger]=1
\]
1.3 Κενό του ταλαντωτή
Ορίζουμε την κατάσταση βάσης:
\[
a|0\rangle=0
\]
1.4 Καταστάσεις \(n\) κβάντων
Οι διεγερμένες καταστάσεις είναι:
\[
|n\rangle=
\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle
\]
1.5 Αριθμητικός τελεστής
Ορίζουμε:
\[
N=a^\dagger a
\]
και ισχύει:
\[
N|n\rangle=n|n\rangle
\]
1.6 Hamiltonian
Ο Hamiltonian είναι:
\[
H=\omega\left(a^\dagger a+\frac12\right)
\]
ή με normal ordering:
\[
:H:=\omega a^\dagger a
\]
Στη θεωρία πεδίου θα έχουμε έναν τέτοιο ταλαντωτή για κάθε ορμή \(\mathbf p\).
Ενότητα 2 — Το κενό του πεδίου
2.1 Τελεστές για κάθε ορμή
Στο πραγματικό βαθμωτό πεδίο έχουμε τελεστές:
\[
a_{\mathbf p},\qquad a^\dagger_{\mathbf p}
\]
με:
\[
[a_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf q}]
=
(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
2.2 Ορισμός κενού
Το κενό ορίζεται ως η κατάσταση που καταστρέφεται από όλους τους τελεστές καταστροφής:
\[
\boxed{
a_{\mathbf p}|0\rangle=0
\quad \forall\,\mathbf p
}
\]
2.3 Κανονικοποίηση
Επιλέγουμε:
\[
\langle 0|0\rangle=1
\]
2.4 Ενέργεια κενού
Πριν το normal ordering:
\[
H=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
E_{\mathbf p}
\left(
a^\dagger_{\mathbf p}a_{\mathbf p}
+
\frac12(2\pi)^3\delta^3(0)
\right)
\]
Άρα το κενό έχει τυπικά άπειρη ενέργεια.
2.5 Με normal ordering
Ορίζουμε:
\[
:H:=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
E_{\mathbf p}
a^\dagger_{\mathbf p}a_{\mathbf p}
\]
και τότε:
\[
:H:|0\rangle=0
\]
Το κενό της QFT δεν είναι απλώς «τίποτα». Είναι η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας του πεδίου,
με βαθιά φυσική σημασία, ειδικά σε φαινόμενα όπως Casimir, αυθόρμητη ρήξη συμμετρίας και βαρύτητα.
Ενότητα 3 — Μονοσωματιδιακές καταστάσεις
3.1 Δημιουργία ενός σωματιδίου
Μία κατάσταση ενός σωματιδίου με ορμή \(\mathbf p\) ορίζεται:
\[
|\mathbf p\rangle=a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle
\]
3.2 Κανονικοποίηση
Με τους μεταθέτες που χρησιμοποιούμε:
\[
\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle
=
(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
Σε σχετικιστική κανονικοποίηση συχνά χρησιμοποιείται:
\[
\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle
=
2E_{\mathbf p}(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
Η διαφορά είναι θέμα ορισμού των καταστάσεων και των \(a_{\mathbf p}\).
3.3 Ενέργεια μονοσωματιδιακής κατάστασης
Με:
\[
:H:=
\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}
E_{\mathbf k}a^\dagger_{\mathbf k}a_{\mathbf k}
\]
έχουμε:
\[
:H:|\mathbf p\rangle=E_{\mathbf p}|\mathbf p\rangle
\]
3.4 Ορμή μονοσωματιδιακής κατάστασης
Ο τελεστής ορμής είναι:
\[
\mathbf P=
\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}
\mathbf k\,a^\dagger_{\mathbf k}a_{\mathbf k}
\]
και:
\[
\mathbf P|\mathbf p\rangle=\mathbf p|\mathbf p\rangle
\]
3.5 Σχέση μάζας
Για τη μονοσωματιδιακή κατάσταση:
\[
E_{\mathbf p}^2-\mathbf p^2=m^2
\]
Άρα το κβάντο του πεδίου έχει μάζα \(m\).
Το \(m\) που εμφανίστηκε στη Λαγκρανζιανή είναι η μάζα των σωματιδίων που προκύπτουν μετά την κβάντωση.
Ενότητα 4 — Πολυσωματιδιακές καταστάσεις
4.1 Δύο σωματίδια
Μια κατάσταση δύο σωματιδίων είναι:
\[
|\mathbf p,\mathbf q\rangle
=
a^\dagger_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}|0\rangle
\]
4.2 Μποζονική συμμετρία
Για πραγματικό βαθμωτό πεδίο:
\[
[a^\dagger_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf q}]=0
\]
Άρα:
\[
|\mathbf p,\mathbf q\rangle
=
|\mathbf q,\mathbf p\rangle
\]
Οι καταστάσεις είναι συμμετρικές. Τα κβάντα του βαθμωτού πεδίου είναι μποζόνια.
4.3 Πολλά σωματίδια στην ίδια κατάσταση
Αν έχουμε \(n\) σωματίδια στον ίδιο τρόπο \(\mathbf p\), γράφουμε:
\[
|n_{\mathbf p}\rangle
=
\frac{(a^\dagger_{\mathbf p})^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle
\]
Σε συνεχή κανονικοποίηση χρειάζεται προσοχή με τις δέλτα συναρτήσεις. Η ιδέα φαίνεται καθαρότερα σε πεπερασμένο κουτί.
4.4 Ενέργεια πολλών σωματιδίων
Για ελεύθερη θεωρία:
\[
E_{\text{ολ}}
=
\sum_i E_{\mathbf p_i}
\]
Δεν υπάρχει ενέργεια αλληλεπίδρασης, επειδή το πεδίο είναι ελεύθερο.
4.5 Ορμή πολλών σωματιδίων
Η ολική ορμή είναι:
\[
\mathbf P_{\text{ολ}}
=
\sum_i\mathbf p_i
\]
Σε αλληλεπιδρούσα θεωρία η εικόνα των ελεύθερων σωματιδίων παραμένει ακριβής μόνο ασυμπτωτικά,
δηλαδή πολύ πριν και πολύ μετά τη σκέδαση.
Ενότητα 5 — Χώρος Fock
5.1 Γιατί δεν αρκεί ένας μονοσωματιδιακός χώρος;
Στη σχετικιστική φυσική ο αριθμός σωματιδίων μπορεί να αλλάζει.
Μια θεωρία πρέπει να περιέχει ταυτόχρονα καταστάσεις με 0, 1, 2, 3, ... σωματίδια.
5.2 Ορισμός χώρου Fock
Ο χώρος Fock είναι:
\[
\mathcal F
=
\mathcal H_0
\oplus
\mathcal H_1
\oplus
\mathcal H_2
\oplus
\cdots
\]
όπου:
Χώρος Σημασία \(\mathcal H_0\) χώρος κενού \(\mathcal H_1\) μονοσωματιδιακές καταστάσεις \(\mathcal H_2\) δισωματιδιακές καταστάσεις \(\mathcal H_n\) καταστάσεις \(n\) σωματιδίων
5.3 Βάση αριθμών κατάληψης
Μια κατάσταση γράφεται:
\[
|n_{\mathbf p_1},n_{\mathbf p_2},n_{\mathbf p_3},\ldots\rangle
\]
που σημαίνει ότι ο τρόπος \(\mathbf p_1\) έχει \(n_{\mathbf p_1}\) σωματίδια,
ο τρόπος \(\mathbf p_2\) έχει \(n_{\mathbf p_2}\) κ.ο.κ.
5.4 Δράση των τελεστών
Για διακριτό τρόπο:
\[
a|n\rangle=\sqrt n\,|n-1\rangle
\]
\[
a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle
\]
5.5 Αριθμός σωματιδίων
Ο συνολικός αριθμητικός τελεστής είναι:
\[
N=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
a^\dagger_{\mathbf p}a_{\mathbf p}
\]
Ο χώρος Fock είναι η φυσική γλώσσα για θεωρίες όπου ο αριθμός σωματιδίων δεν είναι σταθερός.
Ενότητα 6 — Κυματοπακέτα και εντοπισμός
6.1 Οι καταστάσεις ορμής δεν είναι εντοπισμένες
Η κατάσταση:
\[
|\mathbf p\rangle=a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle
\]
έχει καλά ορισμένη ορμή, αλλά είναι πλήρως απλωμένη στον χώρο.
Είναι σαν επίπεδο κύμα.
6.2 Κυματοπακέτο
Για πιο εντοπισμένο σωματίδιο φτιάχνουμε υπέρθεση:
\[
|f\rangle
=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
f(\mathbf p)a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle
\]
6.3 Κανονικοποίηση
Αν:
\[
\langle f|f\rangle=1
\]
τότε, με τη μη σχετικιστική κανονικοποίηση που χρησιμοποιούμε εδώ:
\[
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}|f(\mathbf p)|^2=1
\]
6.4 Χωρική κυματοσυνάρτηση ως πλάτος
Η Fourier μετασχηματισμένη:
\[
f(\mathbf x)
=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
f(\mathbf p)e^{i\mathbf p\cdot\mathbf x}
\]
δίνει μια εικόνα χωρικού εντοπισμού, αλλά στην σχετικιστική QFT ο εντοπισμός έχει λεπτές δυσκολίες.
6.5 Φυσική προσοχή
Στη QFT η έννοια «σωματίδιο στη θέση \(\mathbf x\)» είναι λιγότερο θεμελιώδης από την έννοια
«διέγερση πεδίου με κατανομή ορμών». Η πιο ασφαλής γλώσσα είναι η γλώσσα των πεδίων και των ανιχνευτών.
Η ακριβής εντοπισιμότητα σχετικιστικών σωματιδίων είναι δύσκολο θέμα. Για την εισαγωγή αρκεί να ξέρουμε
ότι φτιάχνουμε κυματοπακέτα ως υπερθέσεις καταστάσεων ορμής.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία
7.1 Παλιά εικόνα: σωματίδια ως αντικείμενα
Στην κλασική σκέψη ξεκινάμε από σωματίδια που έχουν ταυτότητα, τροχιά και θέση.
Αν έχουμε δύο ίδια σωματίδια, συχνά φανταζόμαστε ότι μπορούμε να τα ξεχωρίσουμε.
7.2 Νέα εικόνα: αριθμοί κατάληψης
Στη QFT δεν ξεκινάμε από αριθμημένα σωματίδια. Ξεκινάμε από τρόπους του πεδίου και λέμε
πόσα κβάντα υπάρχουν σε κάθε τρόπο:
\[
|n_{\mathbf p_1},n_{\mathbf p_2},\ldots\rangle
\]
7.3 Ταυτόσημα σωματίδια
Τα σωματίδια του ίδιου πεδίου είναι ταυτόσημα, επειδή είναι διεγέρσεις του ίδιου πεδίου.
Δεν υπάρχει εσωτερική ετικέτα «σωματίδιο 1» και «σωματίδιο 2».
7.4 Μποζόνια
Στο πραγματικό βαθμωτό πεδίο:
\[
[a^\dagger_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf q}]=0
\]
Άρα οι πολυσωματιδιακές καταστάσεις είναι συμμετρικές. Αυτό είναι μποζονική στατιστική.
7.5 Πού πάμε μετά;
Έχουμε τώρα:
\[
\text{κενό}
\rightarrow
\text{σωματίδια}
\rightarrow
\text{χώρος Fock}
\]
Το επόμενο βήμα είναι να ρωτήσουμε:
ποιο είναι το πλάτος να διαδοθεί μια διέγερση από ένα σημείο \(y\) σε ένα σημείο \(x\);
Αυτό οδηγεί στον προπαγανδιστή.
Ο χώρος Fock είναι η μαθηματική σκηνή πάνω στην οποία παίζεται η φυσική των σωματιδίων στην QFT.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Κανονικοποίηση μονοσωματιδιακής κατάστασης
Με \(|\mathbf p\rangle=a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle\) και
\([a_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf q}]=(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)\),
να βρεθεί \(\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle\).
Λύση
\[
\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle
=
\langle 0|a_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}|0\rangle
\]
Χρησιμοποιούμε:
\[
a_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}
=
a^\dagger_{\mathbf q}a_{\mathbf p}
+
[a_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf q}]
\]
Ο πρώτος όρος μηδενίζεται πάνω στο κενό:
\[
a_{\mathbf p}|0\rangle=0
\]
Άρα:
\[
\boxed{
\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle
=
(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
}
\]
Άσκηση 2 — Δράση αριθμητικού τελεστή
Για έναν διακριτό τρόπο με \([a,a^\dagger]=1\), δείξτε ότι
\(N a^\dagger|0\rangle=a^\dagger|0\rangle\).
Λύση
\[
N a^\dagger|0\rangle
=
a^\dagger a a^\dagger|0\rangle
\]
Χρησιμοποιούμε \(aa^\dagger=a^\dagger a+1\):
\[
a^\dagger a a^\dagger|0\rangle
=
a^\dagger(a^\dagger a+1)|0\rangle
\]
Επειδή \(a|0\rangle=0\):
\[
N a^\dagger|0\rangle
=
a^\dagger|0\rangle
\]
\[
\boxed{N|1\rangle=|1\rangle}
\]
Άσκηση 3 — Κατάσταση δύο σωματιδίων στον ίδιο τρόπο
Να δείξετε γιατί:
\[
|2\rangle=\frac{(a^\dagger)^2}{\sqrt{2!}}|0\rangle
\]
είναι κανονικοποιημένη.
Λύση
\[
\langle 2|2\rangle
=
\frac{1}{2}
\langle 0|a^2(a^\dagger)^2|0\rangle
\]
Γνωρίζουμε ότι:
\[
a(a^\dagger)^2|0\rangle
=
2a^\dagger|0\rangle
\]
Άρα:
\[
a^2(a^\dagger)^2|0\rangle
=
2|0\rangle
\]
Επομένως:
\[
\langle 2|2\rangle
=
\frac12\cdot 2\langle 0|0\rangle=1
\]
Άσκηση 4 — Ενέργεια δισωματιδιακής κατάστασης
Για:
\[
|\mathbf p,\mathbf q\rangle=a^\dagger_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}|0\rangle
\]
να βρεθεί η ενέργεια στην ελεύθερη θεωρία.
Λύση
Ο Hamiltonian μετρά την ενέργεια κάθε κατειλημμένου τρόπου:
\[
H=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}E_{\mathbf k}a^\dagger_{\mathbf k}a_{\mathbf k}
\]
Η κατάσταση έχει ένα κβάντο με ορμή \(\mathbf p\) και ένα με ορμή \(\mathbf q\).
Άρα:
\[
\boxed{
E_{\text{ολ}}=E_{\mathbf p}+E_{\mathbf q}
}
\]
Άσκηση 5 — Ορμή δισωματιδιακής κατάστασης
Με:
\[
\mathbf P=
\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\mathbf k\,a^\dagger_{\mathbf k}a_{\mathbf k}
\]
να βρεθεί \(\mathbf P|\mathbf p,\mathbf q\rangle\).
Λύση
Η ορμή προστίθεται:
\[
\boxed{
\mathbf P|\mathbf p,\mathbf q\rangle
=
(\mathbf p+\mathbf q)|\mathbf p,\mathbf q\rangle
}
\]
Άσκηση 6 — Κανονικοποίηση κυματοπακέτου
Για:
\[
|f\rangle=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}f(\mathbf p)|\mathbf p\rangle
\]
να βρεθεί η συνθήκη ώστε \(\langle f|f\rangle=1\).
Λύση
\[
\langle f|f\rangle
=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\frac{d^3q}{(2\pi)^3}
f^\ast(\mathbf p)f(\mathbf q)
\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle
\]
Με:
\[
\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle=(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
παίρνουμε:
\[
\langle f|f\rangle
=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}|f(\mathbf p)|^2
\]
Άρα:
\[
\boxed{
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}|f(\mathbf p)|^2=1
}
\]
Άσκηση 7 — Γιατί τα σωματίδια είναι μποζόνια;
Να εξηγήσετε γιατί τα κβάντα πραγματικού βαθμωτού πεδίου είναι μποζόνια.
Λύση
Οι τελεστές δημιουργίας ικανοποιούν:
\[
[a^\dagger_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf q}]=0
\]
Άρα:
\[
a^\dagger_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf q}|0\rangle
=
a^\dagger_{\mathbf q}a^\dagger_{\mathbf p}|0\rangle
\]
Η δισωματιδιακή κατάσταση είναι συμμετρική στην ανταλλαγή \(\mathbf p\leftrightarrow\mathbf q\).
Αυτό είναι μποζονική στατιστική.
Άσκηση 8 — Τι αλλάζει σε αλληλεπιδρούσα θεωρία;
Γιατί στην ελεύθερη θεωρία ο αριθμός σωματιδίων διατηρείται, ενώ σε αλληλεπιδρούσα όχι απαραίτητα;
Λύση
Στην ελεύθερη θεωρία:
\[
H=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\mathbf p}a^\dagger_{\mathbf p}a_{\mathbf p}
\]
είναι διαγώνιος στους αριθμούς κατάληψης. Δεν περιέχει όρους που αλλάζουν τον αριθμό των \(a^\dagger\) και \(a\).
Σε αλληλεπιδρούσα θεωρία, π.χ. \(\lambda\phi^4\), εμφανίζονται όροι με προϊόντα όπως:
\[
a^\dagger a^\dagger a a,\quad
a^\dagger a^\dagger a^\dagger a,\quad
a^\dagger a^\dagger a^\dagger a^\dagger,\quad \ldots
\]
Αυτοί μπορούν να μεταβάλλουν τον αριθμό σωματιδίων.
Μαθηματικό συμπλήρωμα μαθήματος 7
Μ1. Χώρος Fock ως άμεσο άθροισμα
\[
\mathcal F
=
\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal H_n
\]
Αυτό σημαίνει ότι μια γενική κατάσταση μπορεί να είναι υπέρθεση καταστάσεων με διαφορετικό αριθμό σωματιδίων.
Μ2. Βάση αριθμών κατάληψης
Σε διακριτούς τρόπους:
\[
|n_1,n_2,n_3,\ldots\rangle
\]
με:
\[
N_i|n_1,n_2,\ldots\rangle
=
n_i|n_1,n_2,\ldots\rangle
\]
Μ3. Δράση \(a\), \(a^\dagger\)
\[
a_i|n_i\rangle=\sqrt{n_i}|n_i-1\rangle
\]
\[
a_i^\dagger|n_i\rangle=\sqrt{n_i+1}|n_i+1\rangle
\]
Μ4. Συνεχής κανονικοποίηση
Σε άπειρο όγκο:
\[
[a_{\mathbf p},a^\dagger_{\mathbf q}]
=
(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
Σε πεπερασμένο κουτί:
\[
[a_{\mathbf n},a^\dagger_{\mathbf m}]=\delta_{\mathbf n\mathbf m}
\]
Μ5. Σχέση κουτιού και συνεχούς ορίου
Για όγκο \(V=L^3\), οι ορμές είναι διακριτές:
\[
\mathbf p=\frac{2\pi}{L}\mathbf n
\]
και:
\[
\sum_{\mathbf p}\to V\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\]
Μ6. Κανονικοποίηση σχετικιστικών καταστάσεων
Πολλοί συγγραφείς επιλέγουν:
\[
\langle \mathbf p|\mathbf q\rangle
=
2E_{\mathbf p}(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
Αυτή η μορφή είναι Lorentz αναλλοίωτη όταν συνδυάζεται με το μέτρο:
\[
\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}}
\]
Μ7. Συμμετρικό γινόμενο για μποζόνια
Ο χώρος \(\mathcal H_n\) των \(n\) μποζονίων είναι το συμμετρικό τανυστικό γινόμενο:
\[
\mathcal H_n=\mathrm{Sym}(\mathcal H_1^{\otimes n})
\]
Μ8. Φερμιόνια, για σύγκριση
Για φερμιόνια δεν έχουμε μεταθέτες αλλά αντιμεταθέτες:
\[
\{b_{\mathbf p},b^\dagger_{\mathbf q}\}
=
(2\pi)^3\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
Αυτό οδηγεί στην αρχή Pauli. Θα το δούμε όταν μελετήσουμε το πεδίο Dirac.
Ευρετήριο βασικών εννοιών