Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: από τη συμμετρία χωροχρονικών μεταθέσεων
στον τανυστή \(T^{\mu\nu}\), στην πυκνότητα ενέργειας, στην ορμή, στη διατήρηση
και στη φυσική σημασία του.
Κεντρικός στόχος
Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι κάθε συνεχής συμμετρία δίνει ένα διατηρούμενο ρεύμα.
Εδώ εφαρμόζουμε την ιδέα στις χωροχρονικές μεταθέσεις. Το αποτέλεσμα είναι ο τανυστής ενέργειας-ορμής.
Ο \(T^{00}\) είναι πυκνότητα ενέργειας, ενώ τα \(T^{0i}\) συνδέονται με την πυκνότητα ορμής.
Θα θυμηθούμε τι σημαίνει χωροχρονική μετάθεση.
Θα παραγάγουμε τον κανονικό τανυστή ενέργειας-ορμής.
Θα υπολογίσουμε \(T^{00}\), \(T^{0i}\), Hamiltonian και ορμή για βαθμωτό πεδίο.
Θα λύσουμε αναλυτικά ασκήσεις σε πραγματικά και μιγαδικά πεδία.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Ο τανυστής ενέργειας-ορμής θα χρησιμοποιηθεί ξανά στην κανονική κβάντωση,
όπου η συνολική ενέργεια γίνεται Hamiltonian τελεστής και η ορμή γεννήτορας χωρικών μεταθέσεων.
Οδηγίες χρήσης
Κάθε κάρτα ανοίγει μια ενότητα σε αναδυόμενο παράθυρο. Διάβασε διαδοχικά τις ενότητες 1–7,
μετά τις λυμένες ασκήσεις, και στο τέλος το μαθηματικό συμπλήρωμα.
Το αρχείο είναι αυτόνομη HTML σελίδα με MathJax. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προσωπική μελέτη,
προβολή σε τάξη ή ανάρτηση στο site σου.
Ενότητα 1 — Μεταθέσεις και διατηρήσεις
1.1 Ομογένεια του χρόνου
Αν οι νόμοι της φυσικής δεν αλλάζουν όταν μεταθέσουμε τον χρόνο:
\[
t\to t+a
\]
τότε δεν υπάρχει προνομιούχα χρονική στιγμή. Το θεώρημα Noether λέει ότι αυτή η συμμετρία
οδηγεί σε διατήρηση ενέργειας.
1.2 Ομογένεια του χώρου
Αν οι νόμοι δεν αλλάζουν όταν μεταθέσουμε όλο το σύστημα στον χώρο:
\[
\mathbf{x}\to \mathbf{x}+\mathbf{a}
\]
τότε δεν υπάρχει προνομιούχο σημείο του χώρου. Αυτό οδηγεί σε διατήρηση ορμής.
1.3 Ενιαία χωροχρονική μορφή
Στη σχετικότητα γράφουμε:
\[
x^\mu\to x'^\mu=x^\mu+a^\mu
\]
όπου:
\[
a^\mu=(a^0,a^1,a^2,a^3)
\]
Ο χρόνος και ο χώρος μπαίνουν στην ίδια τετραδιάστατη γλώσσα.
1.4 Το αντίστοιχο διατηρούμενο αντικείμενο
Η συμμετρία σε μεταθέσεις οδηγεί σε:
\[
\partial_\mu T^{\mu\nu}=0
\]
Εδώ \(T^{\mu\nu}\) είναι ο τανυστής ενέργειας-ορμής.
Δείκτης
Φυσική σημασία
\(T^{00}\)
πυκνότητα ενέργειας
\(T^{0i}\)
πυκνότητα ορμής
\(T^{i0}\)
ροή ενέργειας
\(T^{ij}\)
ροή της \(j\)-ορμής προς τη διεύθυνση \(i\), δηλαδή τάσεις/πιέσεις
Ο \(T^{\mu\nu}\) περιέχει σε ένα αντικείμενο όλα όσα στην κλασική φυσική τα λέμε ενέργεια,
ορμή, ροή ενέργειας, πίεση και τάση.
Ανάλογα με τη σύμβαση για \(P_i\) ή \(P^i\), εμφανίζονται πρόσημα.
Το βασικό περιεχόμενο είναι ότι η ορμή συνδέεται με το γινόμενο χρονικής και χωρικής μεταβολής του πεδίου.
Σε θεωρίες με spin χρησιμοποιούμε τη διαδικασία Belinfante για να πάρουμε συμμετρικό τανυστή.
Δεν θα την αναπτύξουμε πλήρως εδώ, αλλά πρέπει να γνωρίζεις ότι υπάρχει.
6.5 Hilbert stress tensor
Αν βάλουμε τη θεωρία σε καμπύλο χωροχρόνο, ο τανυστής ορίζεται ως:
Αυτή η μορφή είναι η φυσική πηγή της βαρύτητας στη γενική σχετικότητα.
Για το απλό πραγματικό βαθμωτό πεδίο, ο κανονικός τανυστής είναι ήδη συμμετρικός.
Τα προβλήματα εμφανίζονται πιο έντονα σε πεδία με spin και σε gauge θεωρίες.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία
7.1 Τι σημαίνει \(T^{00}\);
Το \(T^{00}\) είναι πόση ενέργεια υπάρχει ανά μονάδα όγκου.
Για βαθμωτό πεδίο:
Το \(T^{0i}\) είναι πυκνότητα ορμής. Αν το πεδίο δεν αλλάζει χρονικά ή δεν έχει χωρική μεταβολή,
δεν μεταφέρει ορμή.
7.3 Τι σημαίνει \(T^{ij}\);
Τα \(T^{ij}\) περιγράφουν ροή ορμής. Στην κλασική μηχανική συνεχών μέσων συνδέονται με τάσεις και πιέσεις.
Σε ρευστά, το χωρικό τμήμα του τανυστή συνδέεται με την πίεση.
7.4 Σύνδεση με βαρύτητα
Στη γενική σχετικότητα, η ενέργεια και η ορμή είναι πηγές του βαρυτικού πεδίου.
Ο τανυστής \(T_{\mu\nu}\) εμφανίζεται στις εξισώσεις Einstein:
\[
G_{\mu\nu}=8\pi G\,T_{\mu\nu}
\]
Άρα στη σύγχρονη φυσική ο \(T_{\mu\nu}\) είναι το αντικείμενο που λέει στη γεωμετρία
τι ύλη και ενέργεια υπάρχουν.
Σε QFT χωρίς βαρύτητα, ο \(T^{\mu\nu}\) δίνει ενέργεια και ορμή.
Σε QFT με βαρύτητα, είναι το αντικείμενο που ζευγνύεται με τη μετρική.