Μάθημα 3
Από την κλασική Λαγκρανζιανή του πραγματικού βαθμωτού πεδίου στην εξίσωση Klein–Gordon,
στις επίπεδες κυματικές λύσεις, στη σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής και στην πρώτη φυσική ερμηνεία.
⛶ Fullscreen
Οδηγίες χρήσης
Λυμένες ασκήσεις
Μαθηματικό συμπλήρωμα
Ευρετήριο
Κεντρικός στόχος
Στο Μάθημα 2 μάθαμε να παίρνουμε εξίσωση κίνησης από μία Λαγκρανζιανή πυκνότητα.
Τώρα εφαρμόζουμε αυτή τη μηχανή στο πιο απλό σχετικιστικό πεδίο.
\[
\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2
\quad\Longrightarrow\quad
(\Box+m^2)\phi=0
\]
Η εξίσωση αυτή είναι η Klein–Gordon. Είναι η πρώτη γέφυρα ανάμεσα στη σχετικιστική σχέση
\(E^2=\mathbf{p}^2+m^2\) και στη θεωρία πεδίου.
Θα θυμηθούμε
Θα παραγάγουμε
Θα λύσουμε
Θα ερμηνεύσουμε
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Γιατί χρειαζόμαστε την Klein–Gordon; Η σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής ως αφετηρία.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 2 Η Λαγκρανζιανή του πραγματικού βαθμωτού πεδίου Κινητικός όρος, όρος μάζας και σύμβαση μετρικής.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Παραγωγή της εξίσωσης Πλήρης εφαρμογή Euler–Lagrange.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Επίπεδα κύματα Λύσεις της μορφής \(e^{-ipx}\) και σχέση διασποράς.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Θετικές και αρνητικές συχνότητες Γιατί εμφανίζονται δύο κλαδιά ενέργειας.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Μαζικό και άμαζο πεδίο Όριο \(m=0\), ταχύτητα ομάδας και σχέση με κύματα.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Φυσική ερμηνεία και όρια Πού πετυχαίνει και πού αποτυγχάνει ως μονοσωματιδιακή εξίσωση.
Άνοιγμα ενότητας →
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις Plane waves, Fourier, μη σχετικιστικό όριο, διαστάσεις και ρεύμα.
Άνοιγμα →
Ενότητα
← Προηγ.
Επόμ. →
Κλείσιμο ✕
Οδηγίες χρήσης
Κάθε κάρτα ανοίγει μία ενότητα σε αναδυόμενο παράθυρο. Η σειρά ανάγνωσης είναι οι ενότητες 1–7,
μετά οι λυμένες ασκήσεις, και τέλος το μαθηματικό συμπλήρωμα.
Η σελίδα δουλεύει ως αυτόνομο HTML αρχείο. Μπορεί να ανέβει στο site σου ή να προβληθεί σε fullscreen σε τάξη.
Ενότητα 1 — Γιατί χρειαζόμαστε την Klein–Gordon;
1.1 Η μη σχετικιστική κβαντομηχανική
Στη μη σχετικιστική κβαντομηχανική, η ενέργεια ενός ελεύθερου σωματιδίου είναι:
\[
E=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}
\]
Με τους γνωστούς τελεστές:
\[
E\rightarrow i\frac{\partial}{\partial t},
\qquad
\mathbf{p}\rightarrow -i\nabla
\]
παίρνουμε την εξίσωση Schrödinger:
\[
i\frac{\partial\psi}{\partial t}
=
-\frac{1}{2m}\nabla^2\psi
\]
1.2 Το πρόβλημα
Η εξίσωση Schrödinger δεν είναι σχετικιστική. Ο χρόνος εμφανίζεται με πρώτη παράγωγο,
ενώ ο χώρος με δεύτερη παράγωγο. Αυτό δεν ταιριάζει με τη σχετικότητα, όπου χώρος και χρόνος
συνδυάζονται σε χωροχρόνο.
1.3 Η σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής
Για ελεύθερο σχετικιστικό σωματίδιο ισχύει:
\[
E^2=\mathbf{p}^2+m^2
\]
σε φυσικές μονάδες \(c=1\). Σε πλήρη μορφή θα ήταν:
\[
E^2=p^2c^2+m^2c^4
\]
1.4 Πρώτη ιδέα: κάνουμε την ίδια αντικατάσταση
Αν βάλουμε:
\[
E\rightarrow i\partial_t,
\qquad
\mathbf{p}\rightarrow -i\nabla
\]
τότε:
\[
E^2\rightarrow -\partial_t^2
\]
\[
\mathbf{p}^2\rightarrow -\nabla^2
\]
Άρα η σχέση:
\[
E^2=\mathbf{p}^2+m^2
\]
οδηγεί σε:
\[
-\partial_t^2\phi
=
-\nabla^2\phi+m^2\phi
\]
δηλαδή:
\[
\partial_t^2\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0
\]
1.5 Συμπαγής μορφή
Ορίζουμε τον τελεστή d'Alembert:
\[
\Box=\partial_\mu\partial^\mu=\partial_t^2-\nabla^2
\]
Άρα η εξίσωση γράφεται:
\[
\boxed{(\Box+m^2)\phi=0}
\]
Αυτή είναι η εξίσωση Klein–Gordon. Στη σημερινή QFT δεν τη βλέπουμε κυρίως ως εξίσωση κυματοσυνάρτησης,
αλλά ως εξίσωση κίνησης ενός βαθμωτού πεδίου.
Ενότητα 2 — Η Λαγκρανζιανή του πραγματικού βαθμωτού πεδίου
2.1 Το πεδίο
Θεωρούμε ένα πραγματικό βαθμωτό πεδίο:
\[
\phi(x)=\phi(t,\mathbf{x}),
\qquad
\phi^\ast=\phi
\]
Είναι βαθμωτό, δηλαδή δεν έχει δείκτη Lorentz. Δεν είναι διάνυσμα, δεν είναι spinor.
2.2 Η δράση
Η δράση γράφεται:
\[
S[\phi]=\int d^4x\,\mathcal{L}
\]
2.3 Η Λαγκρανζιανή πυκνότητα
Για το ελεύθερο πραγματικό βαθμωτό πεδίο παίρνουμε:
\[
\mathcal{L}
=
\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi
-
\frac12m^2\phi^2
\]
2.4 Ανάπτυξη με τη μετρική
Με:
\[
\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)
\]
έχουμε:
\[
\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi
=
(\partial_t\phi)^2-(\nabla\phi)^2
\]
Άρα:
\[
\mathcal{L}
=
\frac12(\partial_t\phi)^2
-
\frac12(\nabla\phi)^2
-
\frac12m^2\phi^2
\]
2.5 Ερμηνεία των όρων
Όρος Ερμηνεία \(\frac12(\partial_t\phi)^2\) χρονική μεταβολή, ανάλογο κινητικής ενέργειας \(-\frac12(\nabla\phi)^2\) χωρική παραμόρφωση του πεδίου \(-\frac12m^2\phi^2\) όρος μάζας, σαν τετραγωνικό δυναμικό
Η λέξη «ελεύθερο» σημαίνει ότι η Λαγκρανζιανή είναι τετραγωνική στο πεδίο.
Δεν υπάρχουν όροι όπως \(\phi^3\) ή \(\phi^4\), άρα δεν υπάρχει αυτοαλληλεπίδραση.
Ενότητα 3 — Παραγωγή της εξίσωσης Klein–Gordon
3.1 Ξεκινάμε από την Euler–Lagrange για πεδία
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}
-
\partial_\mu
\left(
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
\right)=0
\]
3.2 Υπολογισμός του \(\partial\mathcal{L}/\partial\phi\)
Η Λαγκρανζιανή είναι:
\[
\mathcal{L}
=
\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi
-
\frac12m^2\phi^2
\]
Ο πρώτος όρος εξαρτάται από τις παραγώγους του \(\phi\), όχι από το ίδιο το \(\phi\).
Ο δεύτερος όρος δίνει:
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}
=
-m^2\phi
\]
3.3 Υπολογισμός του \(\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_\mu\phi)\)
Ο κινητικός όρος είναι:
\[
\frac12\partial_\nu\phi\,\partial^\nu\phi
\]
Παραγωγίζοντας ως προς \(\partial_\mu\phi\):
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
=
\partial^\mu\phi
\]
3.4 Βάζουμε στον τύπο
\[
-m^2\phi
-
\partial_\mu(\partial^\mu\phi)=0
\]
Δηλαδή:
\[
\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi=0
\]
3.5 Τελική μορφή
\[
\boxed{(\Box+m^2)\phi=0}
\]
όπου:
\[
\Box=\partial_\mu\partial^\mu
=
\partial_t^2-\nabla^2
\]
3.6 Αναλυτική μορφή
\[
\boxed{
\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}
-
\nabla^2\phi
+
m^2\phi=0
}
\]
Πρόσεξε το πρόσημο. Με μετρική \((+,-,-,-)\), ο τελεστής είναι
\(\Box=\partial_t^2-\nabla^2\). Αν κάποιο βιβλίο χρησιμοποιεί \((- ,+,+,+)\),
αρκετά πρόσημα αλλάζουν.
Ενότητα 4 — Επίπεδα κύματα και σχέση διασποράς
4.1 Δοκιμαστική λύση
Δοκιμάζουμε λύση επίπεδου κύματος:
\[
\phi(x)=A e^{-ip_\mu x^\mu}
\]
Συχνά γράφουμε:
\[
p_\mu x^\mu = Et-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}
\]
οπότε:
\[
\phi(x)=A e^{-i(Et-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
\]
4.2 Δράση του \(\Box\)
Έχουμε:
\[
\partial_\mu e^{-ipx}=-ip_\mu e^{-ipx}
\]
και:
\[
\partial^\mu\partial_\mu e^{-ipx}
=
-p^\mu p_\mu e^{-ipx}
\]
Δηλαδή:
\[
\Box e^{-ipx}=-p^2e^{-ipx}
\]
4.3 Βάζουμε στην Klein–Gordon
\[
(\Box+m^2)\phi=0
\]
δίνει:
\[
(-p^2+m^2)Ae^{-ipx}=0
\]
Για μη μηδενική λύση:
\[
p^2=m^2
\]
4.4 Σχέση ενέργειας-ορμής
Με τη μετρική \((+,-,-,-)\):
\[
p^2=p_\mu p^\mu=E^2-\mathbf{p}^2
\]
Άρα:
\[
E^2-\mathbf{p}^2=m^2
\]
ή:
\[
\boxed{E^2=\mathbf{p}^2+m^2}
\]
Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό: η εξίσωση Klein–Gordon έχει ως λύσεις κύματα
που ικανοποιούν ακριβώς τη σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής.
Ενότητα 5 — Θετικές και αρνητικές συχνότητες
5.1 Δύο λύσεις για την ενέργεια
Από:
\[
E^2=\mathbf{p}^2+m^2
\]
προκύπτει:
\[
E=\pm\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}
\]
Ορίζουμε:
\[
E_{\mathbf{p}}=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}
\]
Άρα έχουμε δύο χρονικές εξαρτήσεις:
\[
e^{-iE_{\mathbf{p}}t}
\quad\text{και}\quad
e^{+iE_{\mathbf{p}}t}
\]
5.2 Γενική Fourier λύση
Για πραγματικό πεδίο:
\[
\phi(x)=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\left[
A(\mathbf{p})e^{-i(E_{\mathbf{p}}t-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
+
A^\ast(\mathbf{p})e^{+i(E_{\mathbf{p}}t-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
\right]
\]
5.3 Γιατί το δεύτερο κομμάτι δεν είναι λάθος;
Στην παλιά μονοσωματιδιακή ερμηνεία, οι αρνητικές ενέργειες δημιούργησαν πρόβλημα.
Στην QFT όμως το ζήτημα λύνεται διαφορετικά:
\[
\text{αρνητική συχνότητα}
\quad\Longrightarrow\quad
\text{τελεστής δημιουργίας αντισωματιδίου ή σωματιδίου}
\]
Για πραγματικό βαθμωτό πεδίο το σωματίδιο είναι το ίδιο με το αντισωματίδιό του.
5.4 Η κλασική εικόνα πριν την κβάντωση
Προς το παρόν, πριν κβαντώσουμε, τα \(A(\mathbf{p})\) είναι απλώς συντελεστές Fourier.
Στην κβάντωση θα γίνουν τελεστές:
\[
A(\mathbf{p})\rightarrow a_{\mathbf{p}},
\qquad
A^\ast(\mathbf{p})\rightarrow a^\dagger_{\mathbf{p}}
\]
Αυτή είναι η γέφυρα προς το επόμενο μεγάλο βήμα: τελεστές δημιουργίας και καταστροφής.
Ενότητα 6 — Μαζικό και άμαζο πεδίο
6.1 Μαζικό πεδίο
Για \(m\neq 0\):
\[
E_{\mathbf{p}}=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}
\]
Ακόμη και αν \(\mathbf{p}=0\), υπάρχει ενέργεια:
\[
E_0=m
\]
Αυτή είναι η ενέργεια ηρεμίας.
6.2 Άμαζο πεδίο
Αν \(m=0\), η Klein–Gordon γίνεται:
\[
\Box\phi=0
\]
δηλαδή:
\[
\partial_t^2\phi-\nabla^2\phi=0
\]
Πρόκειται για την κυματική εξίσωση με ταχύτητα \(c=1\).
6.3 Ταχύτητα ομάδας
Η ταχύτητα ομάδας ενός κυματοπακέτου είναι:
\[
v_g=\frac{\partial E}{\partial |\mathbf{p}|}
\]
Για:
\[
E=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}
\]
έχουμε:
\[
v_g=\frac{|\mathbf{p}|}{\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}}
=
\frac{|\mathbf{p}|}{E}
\]
Άρα για \(m>0\):
\[
v_g<1
\]
ενώ για \(m=0\):
\[
v_g=1
\]
Σε φυσικές μονάδες το \(1\) σημαίνει την ταχύτητα του φωτός.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία και όρια της Klein–Gordon
7.1 Ως εξίσωση πεδίου είναι φυσική
Η Klein–Gordon είναι άριστη ως εξίσωση κίνησης για ένα ελεύθερο βαθμωτό πεδίο.
Το πεδίο έχει τρόπους ταλάντωσης με:
\[
E_{\mathbf{p}}=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}
\]
7.2 Ως μονοσωματιδιακή κυματοσυνάρτηση έχει προβλήματα
Αν προσπαθήσουμε να την ερμηνεύσουμε σαν εξίσωση για μία απλή κυματοσυνάρτηση,
εμφανίζονται δύο βασικές δυσκολίες:
Πρόβλημα Σχόλιο αρνητικές ενέργειες \(E=\pm E_{\mathbf{p}}\) πυκνότητα πιθανότητας όχι θετικά ορισμένη η διατηρούμενη πυκνότητα μπορεί να είναι αρνητική
7.3 Πώς το λύνει η QFT;
Η QFT δεν λέει ότι η \(\phi\) είναι απλή κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου.
Λέει ότι η \(\phi\) είναι πεδίο. Μετά την κβάντωση:
\[
\phi(x)\rightarrow \hat{\phi}(x)
\]
και οι τρόποι Fourier αντιστοιχούν σε δημιουργία και καταστροφή σωματιδίων.
7.4 Τι κρατάμε
Η Klein–Gordon δεν είναι απλώς μία ακόμη κυματική εξίσωση.
Είναι η πιο απλή σχετικιστική εξίσωση πεδίου και το πρώτο βήμα προς την κανονική κβάντωση.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Παραγωγή Klein–Gordon από τη Λαγκρανζιανή
Δίνεται:
\[
\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2
\]
Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης.
Λύση
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-m^2\phi
\]
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=\partial^\mu\phi
\]
\[
-m^2\phi-\partial_\mu\partial^\mu\phi=0
\]
\[
\boxed{(\Box+m^2)\phi=0}
\]
Άσκηση 2 — Έλεγχος επίπεδου κύματος
Να δείξετε ότι η λύση:
\[
\phi=Ae^{-i(Et-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
\]
ικανοποιεί την Klein–Gordon μόνο αν \(E^2=\mathbf{p}^2+m^2\).
Λύση
\[
\partial_t^2\phi=-E^2\phi
\]
\[
\nabla^2\phi=-\mathbf{p}^2\phi
\]
Άρα:
\[
(\partial_t^2-\nabla^2+m^2)\phi
=
(-E^2+\mathbf{p}^2+m^2)\phi
\]
Για μη μηδενικό \(\phi\):
\[
-E^2+\mathbf{p}^2+m^2=0
\]
\[
\boxed{E^2=\mathbf{p}^2+m^2}
\]
Άσκηση 3 — Άμαζο όριο
Να βρείτε την εξίσωση για \(m=0\).
Λύση
\[
(\Box+m^2)\phi=0
\]
Για \(m=0\):
\[
\Box\phi=0
\]
δηλαδή:
\[
\boxed{\partial_t^2\phi-\nabla^2\phi=0}
\]
Άσκηση 4 — Ταχύτητα ομάδας
Για \(E(p)=\sqrt{p^2+m^2}\), να βρεθεί η ταχύτητα ομάδας.
Λύση
\[
v_g=\frac{dE}{dp}
\]
\[
\frac{dE}{dp}
=
\frac{1}{2}(p^2+m^2)^{-1/2}\cdot 2p
\]
\[
\boxed{v_g=\frac{p}{\sqrt{p^2+m^2}}=\frac{p}{E}}
\]
Για \(m>0\), \(v_g<1\). Για \(m=0\), \(v_g=1\).
Άσκηση 5 — Μη σχετικιστικό όριο
Δείξτε ότι για \(p\ll m\):
\[
E=\sqrt{p^2+m^2}\approx m+\frac{p^2}{2m}
\]
Λύση
\[
E=m\sqrt{1+\frac{p^2}{m^2}}
\]
Για μικρό \(x\):
\[
\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}
\]
με \(x=p^2/m^2\):
\[
E\approx m\left(1+\frac{p^2}{2m^2}\right)
\]
\[
\boxed{E\approx m+\frac{p^2}{2m}}
\]
Το \(m\) είναι η ενέργεια ηρεμίας και το \(p^2/2m\) είναι η κλασική κινητική ενέργεια.
Άσκηση 6 — Διαστάσεις του πεδίου
Σε \(3+1\) διαστάσεις να βρεθεί η διάσταση του \(\phi\).
Λύση
Σε φυσικές μονάδες:
\[
[S]=0
\]
Επειδή:
\[
S=\int d^4x\,\mathcal{L}
\]
και:
\[
[d^4x]=M^{-4}
\]
πρέπει:
\[
[\mathcal{L}]=M^4
\]
Από τον κινητικό όρο:
\[
[(\partial\phi)^2]=M^4
\]
Επειδή \([\partial]=M\):
\[
[\partial\phi]=M^2
\]
\[
\boxed{[\phi]=M}
\]
Άσκηση 7 — Klein–Gordon με γενικό δυναμικό
Για:
\[
\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-V(\phi)
\]
να βρείτε την εξίσωση κίνησης.
Λύση
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-\frac{dV}{d\phi}
\]
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=\partial^\mu\phi
\]
\[
-\frac{dV}{d\phi}-\Box\phi=0
\]
\[
\boxed{\Box\phi+\frac{dV}{d\phi}=0}
\]
Άσκηση 8 — Διατηρούμενο ρεύμα για μιγαδικό Klein–Gordon
Για μιγαδικό πεδίο η Λαγκρανζιανή:
\[
\mathcal{L}=\partial_\mu\phi^\ast\partial^\mu\phi-m^2\phi^\ast\phi
\]
είναι αναλλοίωτη στον μετασχηματισμό \(\phi\to e^{i\alpha}\phi\).
Το αντίστοιχο ρεύμα είναι:
\[
j^\mu=i(\phi^\ast\partial^\mu\phi-\phi\partial^\mu\phi^\ast)
\]
Να δείξετε ότι \(\partial_\mu j^\mu=0\), χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις κίνησης.
Λύση
\[
\partial_\mu j^\mu
=
i\left[
\partial_\mu\phi^\ast\partial^\mu\phi
+
\phi^\ast\Box\phi
-
\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi^\ast
-
\phi\Box\phi^\ast
\right]
\]
Οι δύο μικτοί όροι ακυρώνονται:
\[
\partial_\mu\phi^\ast\partial^\mu\phi
-
\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi^\ast=0
\]
Άρα:
\[
\partial_\mu j^\mu
=
i\left[
\phi^\ast\Box\phi
-
\phi\Box\phi^\ast
\right]
\]
Από τις εξισώσεις Klein–Gordon:
\[
\Box\phi=-m^2\phi,
\qquad
\Box\phi^\ast=-m^2\phi^\ast
\]
Άρα:
\[
\partial_\mu j^\mu
=
i[-m^2\phi^\ast\phi+m^2\phi\phi^\ast]=0
\]
\[
\boxed{\partial_\mu j^\mu=0}
\]
Μαθηματικό συμπλήρωμα μαθήματος 3
Μ1. Ο τελεστής d'Alembert
Ορίζεται:
\[
\Box=\partial_\mu\partial^\mu
\]
Με μετρική \((+,-,-,-)\):
\[
\Box=\partial_t^2-\nabla^2
\]
Μ2. Τετραορμή
Η τετραορμή είναι:
\[
p^\mu=(E,\mathbf{p})
\]
και:
\[
p_\mu=(E,-\mathbf{p})
\]
Άρα:
\[
p_\mu p^\mu=E^2-\mathbf{p}^2
\]
Μ3. Μαζικό κέλυφος
Η συνθήκη:
\[
p^2=m^2
\]
λέγεται συνθήκη mass shell ή μαζικό κέλυφος. Σημαίνει:
\[
E^2=\mathbf{p}^2+m^2
\]
Μ4. Fourier μετασχηματισμός πεδίου
Μία λύση μπορεί να γραφτεί ως υπέρθεση επιπέδων κυμάτων:
\[
\phi(t,\mathbf{x})=
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\left[
A(\mathbf{p})e^{-i(E_{\mathbf{p}}t-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
+
A^\ast(\mathbf{p})e^{+i(E_{\mathbf{p}}t-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
\right]
\]
Μ5. Ανάπτυγμα Taylor για μη σχετικιστικό όριο
Για \(|x|\ll 1\):
\[
(1+x)^\alpha
=
1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots
\]
Για \(\alpha=1/2\):
\[
\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\cdots
\]
Μ6. Πυκνότητα πιθανότητας και πρόβλημα προσήμου
Η Klein–Gordon έχει διατηρούμενο ρεύμα:
\[
j^\mu=i(\phi^\ast\partial^\mu\phi-\phi\partial^\mu\phi^\ast)
\]
Η πυκνότητα:
\[
j^0=i(\phi^\ast\partial_t\phi-\phi\partial_t\phi^\ast)
\]
δεν είναι θετικά ορισμένη. Αυτό είναι ένας λόγος που η Klein–Gordon δεν ερμηνεύεται καλά
ως απλή μονοσωματιδιακή κυματοσυνάρτηση.
Μ7. Διαστάσεις σε \(d\) χωροχρονικές διαστάσεις
Αν ο χωροχρόνος έχει διάσταση \(d\), τότε:
\[
[d^dx]=M^{-d},
\qquad
[\mathcal{L}]=M^d
\]
Από \((\partial\phi)^2\):
\[
[\phi]=M^{(d-2)/2}
\]
Για \(d=4\):
\[
[\phi]=M
\]
Ευρετήριο βασικών εννοιών