Το freeze-out συμβαίνει συνήθως όταν το σωματίδιο έχει γίνει μη σχετικιστικό, δηλαδή \(T_f
Ενότητα 4 — Θερμικό freeze-out
4.1 Ρυθμός εξαΰλωσης
Ο χαρακτηριστικός ρυθμός εξαΰλωσης ανά σωματίδιο είναι:
\[
\Gamma_\chi=n_\chi\langle\sigma v\rangle
\]
4.2 Ρυθμός διαστολής
Σε ακτινοκρατούμενο Σύμπαν:
\[
H\simeq
1.66\,g_\ast^{1/2}\frac{T^2}{M_{\rm Pl}}
\]
4.3 Συνθήκη freeze-out
Η αποσύνδεση συμβαίνει περίπου όταν:
\[
\boxed{
\Gamma_\chi(T_f)\simeq H(T_f)
}
\]
4.4 Μεταβλητή \(x\)
Χρησιμοποιούμε:
\[
x=\frac{m_\chi}{T}
\]
Για τυπικό WIMP:
\[
x_f\sim20-30
\]
4.5 Φυσική εικόνα
Πριν το freeze-out:
\[
Y\simeq Y_{\rm eq}
\]
Μετά το freeze-out:
\[
Y\simeq{\rm σταθερό}
\]
4.6 Τι καθορίζει την τελική αφθονία;
Αν η διατομή είναι μεγάλη, οι εξαϋλώσεις συνεχίζουν περισσότερο και μένει λιγότερη σκοτεινή ύλη.
Αν η διατομή είναι μικρή, το freeze-out γίνεται νωρίτερα και μένει περισσότερη.
Μεγάλη \(\langle\sigma v\rangle\) σημαίνει μικρή relic abundance. Μικρή \(\langle\sigma v\rangle\) σημαίνει μεγάλη relic abundance.
Ενότητα 5 — Relic abundance και WIMP miracle
5.1 Σημερινή πυκνότητα
Η σημερινή συνεισφορά της σκοτεινής ύλης γράφεται:
\[
\Omega_\chi h^2
\]
όπου \(\Omega_\chi\) είναι το ποσοστό της κρίσιμης πυκνότητας και \(h\) η ανηγμένη σταθερά Hubble.
5.2 Προσεγγιστική σχέση
Για θερμικό relic τύπου WIMP:
\[
\boxed{
\Omega_\chi h^2
\approx
0.12
\frac{3\times10^{-26}\,{\rm cm^3/s}}
{\langle\sigma v\rangle}
}
\]
5.3 WIMP miracle
Μια ασθενής αλληλεπίδραση με μάζα στην ηλεκτρασθενή κλίμακα δίνει περίπου:
\[
\langle\sigma v\rangle\sim3\times10^{-26}\,{\rm cm^3/s}
\]
και αυτό οδηγεί κοντά στη σωστή κοσμολογική αφθονία.
5.4 Προσοχή
Το WIMP miracle είναι εντυπωσιακή σύμπτωση κλιμάκων, όχι απόδειξη ότι η σκοτεινή ύλη είναι WIMP.
5.5 s-wave και p-wave
Συχνά αναπτύσσουμε:
\[
\langle\sigma v\rangle=a+bv^2+\cdots
\]
Το \(a\) είναι s-wave, το \(b v^2\) p-wave.
5.6 Έμμεση ανίχνευση και σημερινή ταχύτητα
Σήμερα οι ταχύτητες της γαλαξιακής σκοτεινής ύλης είναι μικρές. Αν η εξαΰλωση είναι p-wave,
η σημερινή έμμεση ανίχνευση μπορεί να είναι πολύ κατασταλμένη.
Η relic abundance μετρά την πρώιμη κοσμολογική ιστορία. Η ανίχνευση σήμερα μετρά άλλο καθεστώς ενέργειας και ταχύτητας.
Ενότητα 6 — Ανίχνευση σκοτεινής ύλης
6.1 Άμεση ανίχνευση
Ψάχνουμε σκέδαση σκοτεινής ύλης με πυρήνες:
\[
\chi+N\to\chi+N
\]
Το σήμα είναι μικρή ενέργεια ανάκρουσης του πυρήνα.
6.2 Ενέργεια ανάκρουσης
Τάξη μεγέθους:
\[
E_R\sim\frac{\mu_{\chi N}^2v^2}{m_N}
\]
όπου \(\mu_{\chi N}\) είναι η μειωμένη μάζα.
6.3 Έμμεση ανίχνευση
Ψάχνουμε προϊόντα εξαΰλωσης ή διάσπασης:
\[
\chi\chi\to \gamma,\ e^+,\ \bar p,\ \nu,\ \cdots
\]
6.4 Collider αναζητήσεις
Σε επιταχυντές ψάχνουμε παραγωγή σκοτεινής ύλης:
\[
pp\to\chi\chi+{\rm visible}
\]
Το \(\chi\) φεύγει αόρατο, άρα το σήμα είναι missing transverse energy:
\[
E_T^{\rm miss}
\]
6.5 Συμπληρωματικότητα
| Μέθοδος | Διεργασία | Τι ελέγχει |
|---|
| Direct detection | \(\chi N\to\chi N\) | σκέδαση με ύλη |
| Indirect detection | \(\chi\chi\to{\rm SM}\) | εξαΰλωση σήμερα |
| Colliders | \({\rm SM}\to\chi\chi\) | παραγωγή σε υψηλή ενέργεια |
6.6 Γιατί χρειάζονται όλες;
Κάθε μέθοδος μετρά διαφορετικό κινηματικό κανάλι της ίδιας πιθανής αλληλεπίδρασης.
Η μη παρατήρηση σε μία μέθοδο δεν αποκλείει γενικά όλη τη σκοτεινή ύλη. Περιορίζει συγκεκριμένες συζεύξεις και μάζες.
Ενότητα 7 — Πέρα από το απλό WIMP
7.1 Γιατί να πάμε πέρα από WIMPs;
Η απουσία καθαρής ανίχνευσης WIMP και η θεωρητική ποικιλία BSM μοντέλων οδηγούν σε ευρύτερες δυνατότητες.
7.2 Freeze-in
Στο freeze-in, η σκοτεινή ύλη έχει εξαιρετικά ασθενείς αλληλεπιδράσεις και δεν φτάνει ποτέ σε θερμική ισορροπία.
Αντί να παγώνει από ισορροπία, παράγεται σιγά-σιγά από το θερμικό λουτρό.
\[
Y_\chi: 0\longrightarrow Y_{\chi,{\rm final}}
\]
7.3 Axions
Τα axions προκύπτουν ως λύση στο strong CP problem και μπορούν να παραχθούν μη θερμικά μέσω misalignment.
\[
a(x)=\text{ψευδο-Goldstone μποζόνιο της }U(1)_{\rm PQ}
\]
7.4 Sterile neutrinos
Δεξιόχειρα ή sterile νετρίνα με keV μάζες μπορούν να είναι warm dark matter σε ορισμένα σενάρια.
7.5 Hidden sectors
Η σκοτεινή ύλη μπορεί να ανήκει σε ολόκληρο κρυφό τομέα με δικές του αλληλεπιδράσεις:
\[
G_{\rm hidden}
\]
7.6 Μεγάλο συμπέρασμα
Η σκοτεινή ύλη δεν είναι μία θεωρία. Είναι πρόβλημα που μπορεί να έχει πολλές σωματιδιακές λύσεις.
Το WIMP freeze-out είναι το κλασικό παράδειγμα που διδάσκει τη μέθοδο. Η σύγχρονη έρευνα εξετάζει πολύ ευρύτερο χώρο μοντέλων.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Μόνο διαστολή
Αν δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις, δείξτε ότι \(n\propto a^{-3}\).
Λύση
Η εξίσωση Boltzmann χωρίς collision term είναι:
\[
\frac{dn}{dt}+3Hn=0
\]
με \(H=\dot a/a\):
\[
\frac{dn}{dt}+3\frac{\dot a}{a}n=0
\]
Αυτό γράφεται:
\[
\frac{d}{dt}(na^3)=0
\]
άρα:
\[
\boxed{n\propto a^{-3}}
\]
Άσκηση 2 — Μη σχετικιστική αφθονία ισορροπίας
Γράψτε την \(n_{\rm eq}\) για \(T\ll m\).
Λύση
Στο μη σχετικιστικό όριο:
\[
\boxed{
n_{\rm eq}
=
g\left(\frac{mT}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-m/T}
}
\]
Ο εκθετικός παράγοντας \(e^{-m/T}\) είναι η Boltzmann καταστολή.
Άσκηση 3 — Freeze-out temperature
Αν \(m_\chi=100\,{\rm GeV}\) και \(x_f=m_\chi/T_f=25\), βρείτε \(T_f\).
Λύση
\[
T_f=\frac{m_\chi}{x_f}
=
\frac{100\,{\rm GeV}}{25}
=
4\,{\rm GeV}
\]
\[
\boxed{T_f=4\,{\rm GeV}}
\]
Άσκηση 4 — Hubble σε ακτινοκρατούμενο Σύμπαν
Για \(g_\ast=100\), \(T=10\,{\rm GeV}\), εκτιμήστε:
\[
H\simeq1.66g_\ast^{1/2}\frac{T^2}{M_{\rm Pl}}
\]
με \(M_{\rm Pl}=1.22\times10^{19}\,{\rm GeV}\).
Λύση
\[
g_\ast^{1/2}=10,
\qquad
T^2=100\,{\rm GeV}^2
\]
\[
H\simeq
1.66\cdot10\cdot
\frac{100}{1.22\times10^{19}}\,{\rm GeV}
\]
\[
H\simeq
\frac{1660}{1.22\times10^{19}}\,{\rm GeV}
\simeq1.36\times10^{-16}\,{\rm GeV}
\]
\[
\boxed{H\simeq1.4\times10^{-16}\,{\rm GeV}}
\]
Άσκηση 5 — Relic abundance από διατομή
Αν \(\langle\sigma v\rangle=6\times10^{-26}\,{\rm cm^3/s}\), εκτιμήστε \(\Omega_\chi h^2\).
Λύση
Χρησιμοποιούμε:
\[
\Omega_\chi h^2
\approx
0.12
\frac{3\times10^{-26}}{\langle\sigma v\rangle}
\]
Άρα:
\[
\Omega_\chi h^2
\approx
0.12
\frac{3}{6}
=
0.06
\]
\[
\boxed{\Omega_\chi h^2\simeq0.06}
\]
Άσκησή 6 — Μεγάλη ή μικρή αφθονία;
Αν η διατομή εξαΰλωσης είναι μικρότερη από την τυπική WIMP τιμή, η relic abundance μεγαλώνει ή μικραίνει;
Λύση
Η σχέση είναι περίπου:
\[
\Omega_\chi h^2\propto\frac{1}{\langle\sigma v\rangle}
\]
Αν \(\langle\sigma v\rangle\) μικραίνει, το αντίστροφο μεγαλώνει.
\[
\boxed{\text{μικρότερη διατομή} \Rightarrow \text{μεγαλύτερη relic abundance}}
\]
Άσκηση 7 — Ενέργεια ανάκρουσης
Εκτιμήστε την τάξη μεγέθους \(E_R\) για \(\mu_{\chi N}=50\,{\rm GeV}\),
\(m_N=100\,{\rm GeV}\), \(v=10^{-3}\).
Λύση
Χρησιμοποιούμε:
\[
E_R\sim\frac{\mu^2v^2}{m_N}
\]
Άρα:
\[
E_R\sim
\frac{(50)^2(10^{-3})^2}{100}\,{\rm GeV}
=
\frac{2500\cdot10^{-6}}{100}\,{\rm GeV}
\]
\[
E_R=2.5\times10^{-5}\,{\rm GeV}
=
25\,{\rm keV}
\]
\[
\boxed{E_R\sim25\,{\rm keV}}
\]
Άσκηση 8 — Freeze-in ή freeze-out;
Ένα σωματίδιο έχει τόσο ασθενείς αλληλεπιδράσεις ώστε ποτέ δεν φτάνει σε θερμική ισορροπία.
Ποιος μηχανισμός παραγωγής ταιριάζει;
Λύση
Το freeze-out απαιτεί αρχική θερμική ισορροπία και μετά αποσύνδεση.
Αν δεν υπήρξε ποτέ ισορροπία, η παραγωγή γίνεται σταδιακά από το λουτρό:
\[
\boxed{\text{freeze-in}}
\]
Μαθηματικό συμπλήρωμα μαθήματος 27
Μ1. Boltzmann εξίσωση για εξαΰλωση
\[
\frac{dn_\chi}{dt}+3Hn_\chi
=
-\langle\sigma v\rangle(n_\chi^2-n_{\rm eq}^2)
\]
Μ2. Απόδοση ανά εντροπία
\[
Y=\frac{n_\chi}{s}
\]
Μ3. Πυκνότητα εντροπίας
\[
s=\frac{2\pi^2}{45}g_{\ast s}T^3
\]
Μ4. Hubble σε ακτινοκρατούμενο Σύμπαν
\[
H\simeq1.66\,g_\ast^{1/2}\frac{T^2}{M_{\rm Pl}}
\]
Μ5. Μη σχετικιστική ισορροπία
\[
n_{\rm eq}=g\left(\frac{mT}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-m/T}
\]
Μ6. Συνθήκη freeze-out
\[
\Gamma_\chi=n_\chi\langle\sigma v\rangle\simeq H
\]
Μ7. Προσεγγιστική relic abundance
\[
\Omega_\chi h^2
\approx
0.12
\frac{3\times10^{-26}{\rm cm^3/s}}{\langle\sigma v\rangle}
\]
Μ8. Άμεση ανίχνευση — ενέργεια ανάκρουσης
\[
E_R\sim\frac{\mu_{\chi N}^2v^2}{m_N}
\]
Ευρετήριο βασικών εννοιών