Μάθημα 26 Θερμική Θεωρία Πεδίου και Κοσμολογικές Μεταβάσεις Φάσης
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: στατιστικό άθροισμα σε QFT, Ευκλείδειος χρόνος,
Matsubara συχνότητες, θερμικοί προπαγανδιστές, θερμικό effective potential,
αποκατάσταση συμμετρίας σε υψηλή θερμοκρασία, μεταβάσεις φάσης στο πρώιμο Σύμπαν,
ηλεκτρασθενής μετάβαση, βαρυτικά κύματα και βαρυογένεση.
Κεντρικός στόχος
Η συνηθισμένη QFT περιγράφει το κενό ή καταστάσεις με λίγα σωματίδια. Στο πρώιμο Σύμπαν όμως
τα πεδία βρίσκονται σε θερμικό λουτρό. Η θερμοκρασία αλλάζει μάζες, δυναμικά, συμμετρίες και
μπορεί να οδηγήσει σε μεταβάσεις φάσης.
Η βασική ιδέα είναι ότι η θερμική QFT γράφεται ως Ευκλείδεια QFT με περιοδικό φανταστικό χρόνο
μήκους \(\beta=1/T\).
Θα δούμε πώς το \(Z={\rm Tr}e^{-\beta H}\) γίνεται path integral.
Θα εξηγήσουμε τις Matsubara συχνότητες για μποζόνια και φερμιόνια.
Θα υπολογίσουμε πώς η θερμοκρασία αλλάζει το effective potential.
Θα συνδέσουμε μεταβάσεις φάσης με κοσμολογία, βαρυογένεση και βαρυτικά κύματα.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Η θερμική QFT είναι απαραίτητη για πρώιμο Σύμπαν, QCD πλάσμα, ηλεκτρασθενή φυσική,
σκοτεινή ύλη και κοσμολογικές μεταβάσεις φάσης. Μετά από αυτό μπορούμε να συνεχίσουμε σε
βαρύγένεση, σκοτεινή ύλη ή εισαγωγή στην κβαντική βαρύτητα.
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα είναι η θερμική εκδοχή της QFT. Κράτησε τρία κλειδιά:
\(\beta=1/T\), ο Ευκλείδειος χρόνος έχει πεπερασμένο μήκος \(\beta\), και οι συνθήκες στα όρια
παράγουν τις Matsubara συχνότητες.
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Στατιστικό άθροισμα και path integral
1.1 Από την κβαντική μηχανική στη στατιστική φυσική
Σε θερμική ισορροπία, το θεμελιώδες αντικείμενο είναι το στατιστικό άθροισμα:
Σε πρώτη τάξη μετάβαση, η νέα φάση εμφανίζεται με πυρήνωση φυσαλίδων.
Οι φυσαλίδες μεγαλώνουν και συγκρούονται.
5.5 Bounce δράση
Ο ρυθμός πυρήνωσης έχει μορφή:
\[
\Gamma\sim T^4 e^{-S_3(T)/T}
\]
όπου \(S_3\) είναι η τρισδιάστατη Ευκλείδεια δράση της bounce λύσης.
5.6 Crossover
Σε crossover δεν υπάρχει αληθινή μη αναλυτικότητα. Οι ιδιότητες αλλάζουν ομαλά.
Είδος
Χαρακτηριστικό
Κοσμολογικό σήμα
Πρώτης τάξης
φυσαλίδες, λανθάνουσα θερμότητα
πιθανά βαρυτικά κύματα
Δεύτερης τάξης
συνεχής αλλαγή order parameter
κρίσιμα φαινόμενα
Crossover
ομαλή αλλαγή
χωρίς ισχυρό μη διαταρακτικό σήμα
Μόνο μια αρκετά ισχυρή πρώτης τάξης μετάβαση δίνει συνήθως θεαματικά κοσμολογικά σήματα, όπως βαρυτικά κύματα.
Ενότητα 6 — Ηλεκτρασθενής μετάβαση και βαρυογένεση
6.1 Ηλεκτρασθενής συμμετρία σε υψηλή θερμοκρασία
Στο σημερινό κενό:
\[
SU(2)_L\times U(1)_Y\to U(1)_{\rm em}
\]
Σε υψηλή θερμοκρασία η συμμετρία αποκαθίσταται περίπου:
\[
\langle H\rangle=0
\]
6.2 Καθώς το Σύμπαν ψύχεται
Το Higgs αποκτά μη μηδενική αναμενόμενη τιμή:
\[
\langle H\rangle=v(T)
\]
6.3 Συνθήκες Sakharov
Για δημιουργία βαρυονικής ασυμμετρίας χρειαζόμαστε:
Συνθήκη
Νόημα
παραβίαση \(B\)
να αλλάζει ο βαρυονικός αριθμός
παραβίαση \(C\) και \(CP\)
να ξεχωρίζει ύλη από αντιύλη
εκτός θερμικής ισορροπίας
να μην αναιρεθεί η ασυμμετρία
6.4 Ηλεκτρασθενής βαρυογένεση
Αν η ηλεκτρασθενής μετάβαση ήταν ισχυρά πρώτης τάξης, τα τοιχώματα φυσαλίδων θα μπορούσαν να δώσουν
εκτός ισορροπίας δυναμική.
6.5 Γιατί το SM δεν αρκεί;
Με τη μάζα Higgs που γνωρίζουμε, η ηλεκτρασθενής μετάβαση στο SM είναι crossover, όχι ισχυρά πρώτης τάξης.
Επιπλέον, η CP παραβίαση του CKM δεν είναι αρκετή.
6.6 Νέα φυσική
Μοντέλα πέρα από το SM μπορούν να ενισχύσουν τη μετάβαση και να δώσουν νέες πηγές CP παραβίασης.
Η θερμική QFT συνδέει άμεσα τη σωματιδιακή φυσική με το ερώτημα: γιατί υπάρχει περισσότερη ύλη από αντιύλη;
Ενότητα 7 — Κοσμολογικά σήματα και thermal history
7.1 Βαρυτικά κύματα από μεταβάσεις φάσης
Σε ισχυρή πρώτη τάξη μετάβαση, συγκρούσεις φυσαλίδων, ήχοι στο πλάσμα και turbulence μπορούν να παράγουν
στοχαστικό υπόβαθρο βαρυτικών κυμάτων.
7.2 Σκοτεινή ύλη και freeze-out
Ένα σωματίδιο που ήταν σε θερμική ισορροπία μπορεί να αποσυνδεθεί όταν ο ρυθμός αλληλεπίδρασης πέσει κάτω από
τον ρυθμό διαστολής:
\[
\Gamma_{\rm int}\sim H
\]
7.3 Freeze-out ιδέα
Αν:
\[
\Gamma_{\rm int}>H
\]
υπάρχει ισορροπία. Αν:
\[
\Gamma_{\rm int}
το είδος αποσυνδέεται θερμικά.
7.4 QCD μετάβαση
Η μετάβαση από quark-gluon plasma σε αδρόνια είναι βασικό στάδιο της θερμικής ιστορίας του Σύμπαντος.
7.5 Relic abundances
Οι σημερινές αφθονίες σωματιδίων συχνά εξαρτώνται από θερμικές διεργασίες στο πρώιμο Σύμπαν.
7.6 Μεγάλο συμπέρασμα
Η θερμική θεωρία πεδίου είναι το εργαλείο που μεταφράζει μικροσκοπικές αλληλεπιδράσεις σε κοσμολογικές συνέπειες.
Το πρώιμο Σύμπαν είναι ο μεγαλύτερος επιταχυντής: δοκιμάζει τη QFT σε θερμοκρασίες που δεν φτάνουμε εύκολα στο εργαστήριο.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Μποζονικές Matsubara συχνότητες
Από την περιοδικότητα \(\phi(\tau+\beta)=\phi(\tau)\), βρείτε τις επιτρεπτές συχνότητες.
Λύση
Παίρνουμε mode \(e^{-i\omega_n\tau}\). Η περιοδικότητα δίνει:
Αν \(S_3/T=140\), πόσο κατασταλμένος είναι ο παράγοντας \(e^{-S_3/T}\);
Λύση
Ο παράγοντας είναι:
\[
e^{-140}
\]
Αυτό είναι εξαιρετικά μικρό:
\[
e^{-140}\sim10^{-61}
\]
Άρα η πυρήνωση είναι πολύ κατασταλμένη.
Άσκηση 7 — Freeze-out συνθήκη
Αν \(\Gamma_{\rm int}=10^{-18}\,{\rm GeV}\) και \(H=10^{-17}\,{\rm GeV}\), το σωματίδιο είναι σε ισορροπία;
Λύση
Η ισορροπία απαιτεί:
\[
\Gamma_{\rm int}>H
\]
Εδώ:
\[
10^{-18}<10^{-17}
\]
Άρα:
\[
\boxed{\text{όχι, έχει αποσυνδεθεί ή αποσυνδέεται θερμικά}}
\]
Άσκηση 8 — Γιατί η πρώτη τάξη μετάβαση δίνει βαρυτικά κύματα;
Εξηγήστε ποιοτικά.
Λύση
Σε πρώτη τάξη μετάβαση δημιουργούνται φυσαλίδες νέας φάσης. Τα τοιχώματα μεγαλώνουν, συγκρούονται
και δημιουργούν ανισοτροπικές κατανομές ενέργειας-ορμής. Αυτές μπορούν να εκπέμψουν βαρυτικά κύματα.