Μάθημα 25 Κβαντικά Πεδία σε Καμπύλο Χωρόχρονο και Κοσμολογία
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: πεδία σε γενικό μετρικό υπόβαθρο, δράση με \(\sqrt{-g}\),
συναλλοίωτη εξίσωση Klein–Gordon, FRW σύμπαν, δημιουργία σωματιδίων από χρονικά μεταβαλλόμενο υπόβαθρο,
de Sitter χώρος, πληθωρισμός, κβαντικές διακυμάνσεις και η σχέση QFT–κοσμολογίας.
Κεντρικός στόχος
Μέχρι τώρα δουλεύαμε κυρίως σε επίπεδο χωρόχρονο Minkowski. Όμως στο πρώιμο Σύμπαν,
κοντά σε μαύρες τρύπες ή σε ισχυρή βαρύτητα, το υπόβαθρο δεν είναι επίπεδο.
Η QFT σε καμπύλο χωρόχρονο είναι η ενδιάμεση θεωρία: τα πεδία κβαντώνονται,
ενώ η βαρύτητα παραμένει κλασικό γεωμετρικό υπόβαθρο.
Η κεντρική φυσική ιδέα: όταν το υπόβαθρο μεταβάλλεται χρονικά, η έννοια του «σωματιδίου»
δεν είναι απόλυτη. Αυτό οδηγεί σε δημιουργία σωματιδίων, Hawking ακτινοβολία και κοσμολογικές διακυμάνσεις.
Θα αντικαταστήσουμε το \(\eta_{\mu\nu}\) με \(g_{\mu\nu}\) και το \(d^4x\) με \(\sqrt{-g}d^4x\).
Θα παραγάγουμε τη συναλλοίωτη εξίσωση Klein–Gordon.
Θα μελετήσουμε βαθμωτό πεδίο σε FRW σύμπαν.
Θα συνδέσουμε κβαντικές διακυμάνσεις με πληθωρισμό και κοσμική δομή.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Αυτό το μάθημα ανοίγει τη γέφυρα ανάμεσα στη θεωρία πεδίου και την κοσμολογία.
Μετά από αυτό μπορούμε να συνεχίσουμε σε θερμική θεωρία πεδίου, κοσμολογικές μεταβάσεις φάσης
ή σε εισαγωγή στην κβαντική βαρύτητα.
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα αυτό είναι μετάβαση από την κβαντική θεωρία πεδίου στη βαρύτητα και την κοσμολογία.
Μην προσπαθήσεις να δεις ακόμη πλήρη κβαντική βαρύτητα. Εδώ το \(g_{\mu\nu}\) είναι κλασικό υπόβαθρο,
ενώ το πεδίο \(\phi\) είναι κβαντικό.
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Από Minkowski σε καμπύλο χωρόχρονο
1.1 Επίπεδος χωρόχρονος
Στην ειδική σχετικότητα χρησιμοποιούμε τη μετρική Minkowski:
\[
ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu
\]
με τυπική σύμβαση \(\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(-1,+1,+1,+1)\).
1.2 Καμπύλος χωρόχρονος
Στη Γενική Σχετικότητα η μετρική γίνεται πεδίο:
\[
ds^2=g_{\mu\nu}(x)dx^\mu dx^\nu
\]
Το \(g_{\mu\nu}\) καθορίζει αποστάσεις, χρόνους, όγκους και αιτιακή δομή.
1.3 Μέτρο ολοκλήρωσης
Το απλό \(d^4x\) δεν είναι αναλλοίωτο μέτρο όγκου. Χρειάζεται:
\[
\boxed{
d^4x\sqrt{-g}
}
\]
όπου \(g=\det(g_{\mu\nu})\).
1.4 Ανύψωση και χαμήλωση δεικτών
Οι δείκτες ανεβοκατεβαίνουν με το \(g_{\mu\nu}\) και το \(g^{\mu\nu}\):
Οι \(\alpha_k,\beta_k\) λέγονται Bogoliubov coefficients και ικανοποιούν:
\[
|\alpha_k|^2-|\beta_k|^2=1
\]
4.5 Δημιουργία σωματιδίων
Αν \(\beta_k\neq0\), τότε το in-vacuum περιέχει out-particles:
\[
\boxed{
N_k=|\beta_k|^2
}
\]
4.6 Φυσική εικόνα
Το βαρυτικό/κοσμολογικό υπόβαθρο μπορεί να δώσει ενέργεια στα κβαντικά πεδία.
Έτσι δημιουργούνται σωματίδια από το κενό, χωρίς να παραβιάζεται η τοπική διατήρηση ενέργειας-ορμής.
Στην QFT σε καμπύλο χωρόχρονο το «σωματίδιο» δεν είναι απόλυτη έννοια. Το πεδίο είναι πιο θεμελιώδες από το σωματίδιο.
Ενότητα 5 — de Sitter χώρος και πληθωρισμός
5.1 de Sitter διαστολή
Σε σχεδόν σταθερό \(H\):
\[
a(t)\simeq e^{Ht}
\]
Αυτό είναι πρότυπο πληθωριστικής διαστολής.
5.2 Συμμορφικός χρόνος σε de Sitter
Για ακριβές de Sitter:
\[
a(\eta)= -\frac{1}{H\eta},
\qquad
\eta<0
\]
5.3 Ορίζοντας Hubble
Η φυσική κλίμακα Hubble είναι:
\[
H^{-1}
\]
Ένας mode με comoving κυματάριθμο \(k\) «βγαίνει από τον ορίζοντα» όταν:
\[
k=aH
\]
5.4 Κβαντικές διακυμάνσεις
Κατά τον πληθωρισμό, κβαντικές διακυμάνσεις του πεδίου τεντώνονται σε κοσμολογικές κλίμακες.
5.5 Πάγωμα διακυμάνσεων
Όταν \(k\ll aH\), οι διακυμάνσεις γίνονται σχεδόν κλασικές και παγώνουν.
5.6 Τυπικό μέγεθος διακύμανσης
Για ελαφρύ βαθμωτό πεδίο σε de Sitter:
\[
\delta\phi\sim\frac{H}{2\pi}
\]
Ο πληθωρισμός μετατρέπει μικροσκοπικές κβαντικές διακυμάνσεις σε σπόρους μακροσκοπικής κοσμικής δομής.
Ενότητα 6 — Κοσμολογικές διακυμάνσεις και power spectrum
6.1 Δίσημη συνάρτηση δύο σημείων
Η πληροφορία για τις διακυμάνσεις κωδικοποιείται σε συναρτήσεις συσχέτισης: