Μάθημα 24 Συμμετρίες, Ανωμαλίες και Τοπολογικοί Όροι
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: Noether συμμετρίες, παγκόσμιες και gauge συμμετρίες,
κβαντικές ανωμαλίες, ABJ anomaly, gauge anomaly cancellation, τοπολογικοί όροι
\(F\tilde F\), \(\theta\)-όρος της QCD, instantons και το strong CP problem.
Κεντρικός στόχος
Στην κλασική θεωρία, μια συμμετρία οδηγεί σε διατηρούμενο ρεύμα μέσω του θεωρήματος Noether.
Στην κβαντική θεωρία όμως μπορεί να συμβεί κάτι λεπτό: η κλασική συμμετρία να μην επιβιώνει
μετά την κβάντωση. Αυτό λέγεται ανωμαλία.
Οι ανωμαλίες δεν είναι απλώς τεχνική λεπτομέρεια. Για παγκόσμιες συμμετρίες δίνουν φυσικές προβλέψεις.
Για gauge συμμετρίες όμως πρέπει να ακυρώνονται, αλλιώς η θεωρία είναι ασυνεπής.
Θα θυμηθούμε Noether ρεύματα και διατηρήσεις.
Θα ξεχωρίσουμε παγκόσμιες ανωμαλίες από gauge ανωμαλίες.
Θα εξηγήσουμε την ABJ αξονική ανωμαλία και τον ρόλο του \(F\tilde F\).
Θα δούμε \(\theta\)-όρο, instantons και strong CP problem.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Οι ανωμαλίες και οι τοπολογικοί όροι δείχνουν ότι η QFT δεν είναι μόνο διαγράμματα Feynman.
Υπάρχει βαθιά δομή στο κενό, στη γεωμετρία των gauge πεδίων και στη συνέπεια των συμμετριών.
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα έχει πιο αφηρημένη φυσική από τα προηγούμενα. Διάβασε πρώτα τη διαφορά
«παγκόσμια συμμετρία» και «gauge συμμετρία». Μετά κράτησε το βασικό: μια παγκόσμια ανωμαλία μπορεί
να είναι φυσική, αλλά μια gauge ανωμαλία καταστρέφει τη συνέπεια της θεωρίας.
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Συμμετρίες και θεώρημα Noether
1.1 Τι είναι συμμετρία;
Συμμετρία είναι ένας μετασχηματισμός των πεδίων που αφήνει τη δράση αναλλοίωτη:
Μια gauge συμμετρία έχει παράμετρο που εξαρτάται από το σημείο:
\[
\phi(x)\to e^{i\alpha(x)}\phi(x)
\]
Η gauge συμμετρία είναι πλεονασμός περιγραφής, όχι απλή φυσική συμμετρία όπως η περιστροφή.
1.4 Θεώρημα Noether
Για κάθε συνεχόμενη παγκόσμια συμμετρία της δράσης υπάρχει διατηρούμενο ρεύμα:
\[
\boxed{
\partial_\mu j^\mu=0
}
\]
1.5 Διατηρούμενο φορτίο
Το φορτίο είναι:
\[
Q=\int d^3x\,j^0
\]
και αν το ρεύμα διατηρείται, τότε:
\[
\frac{dQ}{dt}=0
\]
1.6 Παράδειγμα Dirac \(U(1)\)
Για:
\[
\psi\to e^{i\alpha}\psi
\]
το ρεύμα είναι:
\[
j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi
\]
Το θεώρημα Noether είναι κλασικό αποτέλεσμα. Οι ανωμαλίες μάς λένε πότε η κβάντωση αλλάζει την ιστορία.
Ενότητα 2 — Κλασική έναντι κβαντικής συμμετρίας
2.1 Κλασική συμμετρία
Κλασικά, αν η Λαγκρανζιανή είναι αναλλοίωτη, περιμένουμε διατήρηση ρεύματος:
\[
\partial_\mu j^\mu_{\rm cl}=0
\]
2.2 Κβαντική θεωρία
Στην κβαντική θεωρία δεν αρκεί να είναι αναλλοίωτη η κλασική Λαγκρανζιανή.
Πρέπει να είναι αναλλοίωτο και το μέτρο ολοκλήρωσης στο path integral:
\[
Z=\int \mathcal D\phi\,e^{iS[\phi]}
\]
2.3 Ανωμαλία
Αν η δράση φαίνεται συμμετρική αλλά το κβαντικό μέτρο ή η κανονικοποίηση δεν μπορεί να διατηρήσει
ταυτόχρονα όλες τις συμμετρίες, εμφανίζεται ανωμαλία:
\[
\boxed{
\partial_\mu j^\mu\neq0
}
\]
2.4 Παγκόσμια ανωμαλία
Αν η ανώμαλη συμμετρία είναι παγκόσμια, η θεωρία μπορεί να είναι συνεπής.
Η ανωμαλία είναι τότε φυσικό φαινόμενο.
2.5 Gauge ανωμαλία
Αν η ανώμαλη συμμετρία είναι gauge συμμετρία, υπάρχει σοβαρό πρόβλημα:
καταστρέφεται η μοναδιακότητα ή η ανακανονικοποιησιμότητα.
2.6 Συμπέρασμα
Είδος συμμετρίας
Αν εμφανίσει ανωμαλία
Παγκόσμια
μπορεί να είναι αποδεκτή και φυσικά σημαντική
Gauge
πρέπει να ακυρώνεται για συνέπεια
Μια gauge συμμετρία δεν είναι προαιρετική διατήρηση. Είναι ο μηχανισμός που αφαιρεί μη φυσικούς βαθμούς ελευθερίας.
Σε απλές διαταρακτικές διαμορφώσεις μπορεί να μην επηρεάζει τις εξισώσεις κίνησης.
Όμως σε μη τετριμμένες τοπολογικές διαμορφώσεις του gauge πεδίου, το ολοκλήρωμά του μπορεί να είναι μη μηδενικό.
Άσκηση 4 — Γιατί οι gauge anomalies πρέπει να ακυρώνονται;
Εξηγήστε ποιο είναι το πρόβλημα αν μια gauge συμμετρία είναι ανώμαλη.
Λύση
Η gauge συμμετρία αφαιρεί μη φυσικούς βαθμούς ελευθερίας και οδηγεί σε Ward identities.
Αν υπάρχει gauge anomaly, οι Ward identities παραβιάζονται. Τότε η θεωρία χάνει μοναδιακότητα
ή ανακανονικοποιησιμότητα.