Μάθημα 2
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: λογισμός μεταβολών, εξισώσεις Euler–Lagrange για πεδία, κύμα, Klein–Gordon, μιγαδικό πεδίο, ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και πολλές λυμένες ασκήσεις.
⛶ Fullscreen
Οδηγίες
Λυμένες ασκήσεις
Μαθηματικό συμπλήρωμα
Ευρετήριο
Στόχος μαθήματος
Στο Μάθημα 1 περάσαμε από το \(q_i(t)\) στο \(\phi(\mathbf{x},t)\). Τώρα μαθαίνουμε πώς από μία Λαγκρανζιανή πυκνότητα παίρνουμε την εξίσωση κίνησης του πεδίου.
\[
S[\phi]=\int d^4x\,\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}
-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)=0
\]
Επαναφορά βάσης
Κύρια απόδειξη
Παραδείγματα
Ασκήσεις
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Ανάκληση από αναλυτική μηχανική Από \(S[q]\) και \(\delta S=0\) στις Euler–Lagrange.
Άνοιγμα → ΕΝΟΤΗΤΑ 2 Τι σημαίνει μεταβολή πεδίου; Το \(\delta\phi(x)\), οι παράγωγοι και οι συνοριακές συνθήκες.
Άνοιγμα → ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Euler–Lagrange για πεδία Η κεντρική απόδειξη με ολοκλήρωση κατά μέρη.
Άνοιγμα → ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Κυματική εξίσωση από δράση Από \(\mathcal{L}\) χορδής στην εξίσωση κύματος.
Άνοιγμα → ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Klein–Gordon αναλυτικά Το ελεύθερο σχετικιστικό βαθμωτό πεδίο.
Άνοιγμα → ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Πολλαπλά και μιγαδικά πεδία Πώς δουλεύουμε με \(\phi_a\), \(\phi\), \(\phi^\ast\).
Άνοιγμα → ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Φυσική ερμηνεία Τοπικότητα, αιτιότητα και γιατί η δράση είναι κεντρική.
Άνοιγμα → ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναλυτικά λυμένες 8 πλήρως λυμένες ασκήσεις για εμπέδωση.
Άνοιγμα →
Ενότητα
← Προηγ. Επόμ. → Κλείσιμο ✕
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα είναι χωρισμένο σε κάρτες. Κάθε κάρτα ανοίγει σε αναδυόμενο παράθυρο. Μπορείς να κινηθείς με τα κουμπιά Προηγ. και Επόμ. .
Για προβολή σε τάξη ή προσωπική μελέτη, πάτησε Fullscreen . Η πρόοδος κρατιέται τοπικά στον browser.
Τα μαθηματικά εμφανίζονται με MathJax. Αν το αρχείο ανοίξει τελείως offline, το κείμενο παραμένει αναγνώσιμο, αλλά οι τύποι μπορεί να φανούν ως LaTeX.
Ενότητα 1 — Ανάκληση από αναλυτική μηχανική
1.1 Η δράση
Στην αναλυτική μηχανική η κίνηση δεν προκύπτει απευθείας από δύναμη, αλλά από τη δράση:
\[
S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)\,dt
\]
Το \(S[q]\) είναι συναρτησιακό: παίρνει ως είσοδο ολόκληρη τροχιά \(q(t)\), όχι έναν αριθμό.
1.2 Στάσιμη δράση
Η πραγματική τροχιά ικανοποιεί:
\[
\delta S=0
\]
Λέμε «στάσιμη» και όχι πάντα «ελάχιστη», γιατί μπορεί να είναι ελάχιστο, μέγιστο ή σαγματικό σημείο.
1.3 Μεταβολή της τροχιάς
Παίρνουμε μια γειτονική τροχιά:
\[
q(t)\rightarrow q(t)+\delta q(t)
\]
με σταθερά άκρα:
\[
\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0
\]
1.4 Παραγωγή Euler–Lagrange
\[
\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left(
\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+
\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta\dot q
\right)dt
\]
Επειδή \(\delta\dot q=\frac{d}{dt}(\delta q)\):
\[
\int\frac{\partial L}{\partial\dot q}\frac{d}{dt}(\delta q)\,dt
=
\left[\frac{\partial L}{\partial\dot q}\delta q\right]_{t_1}^{t_2}
-\int\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)\delta q\,dt
\]
Ο συνοριακός όρος μηδενίζεται. Άρα:
\[
\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left[
\frac{\partial L}{\partial q}
-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)
\right]\delta q\,dt
\]
Επειδή το \(\delta q(t)\) είναι αυθαίρετο:
\[
\boxed{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0}
\]
Η θεωρία πεδίου είναι η ίδια λογική, αλλά με \(q(t)\to\phi(x)\) και \(\dot q\to\partial_\mu\phi\).
Ενότητα 2 — Τι σημαίνει μεταβολή πεδίου;
2.1 Από τροχιά σε πεδίο
Στη μηχανική η άγνωστη είναι \(q(t)\). Στη θεωρία πεδίου η άγνωστη είναι:
\[
\phi(x)=\phi(x^\mu)=\phi(t,\mathbf{x})
\]
Η δράση είναι:
\[
S[\phi]=\int_\Omega d^4x\,\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)
\]
2.2 Μεταβολή πεδίου
\[
\phi(x)\rightarrow \phi(x)+\delta\phi(x)
\]
Η \(\delta\phi(x)\) είναι μικρή αυθαίρετη συνάρτηση του χωροχρόνου. Δεν είναι ένας απλός αριθμός.
2.3 Μεταβολή παραγώγων
Αν αλλάξει το πεδίο, αλλάζουν και οι παράγωγοί του:
\[
\partial_\mu\phi\rightarrow\partial_\mu\phi+\delta(\partial_\mu\phi)
\]
Η μεταβολή και η παράγωγος μετατίθενται:
\[
\delta(\partial_\mu\phi)=\partial_\mu(\delta\phi)
\]
2.4 Συνοριακή συνθήκη
Κρατάμε σταθερό το πεδίο στο σύνορο της χωροχρονικής περιοχής:
\[
\delta\phi\big|_{\partial\Omega}=0
\]
Αυτή η υπόθεση επιτρέπει να εξαφανιστούν οι συνοριακοί όροι μετά την ολοκλήρωση κατά μέρη.
2.5 Πίνακας αντιστοιχίας
Μηχανική Θεωρία πεδίου \(q(t)\) \(\phi(x)\) \(\dot q(t)\) \(\partial_\mu\phi(x)\) \(\delta q(t)\) \(\delta\phi(x)\) \(\int dt\,L\) \(\int d^4x\,\mathcal{L}\)
Ενότητα 3 — Παραγωγή Euler–Lagrange για πεδία
3.1 Ξεκινάμε από τη δράση
\[
S[\phi]=\int d^4x\,\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)
\]
Η μεταβολή της δράσης είναι:
\[
\delta S=\int d^4x\,\delta\mathcal{L}
\]
3.2 Μεταβολή της \(\mathcal{L}\)
\[
\delta\mathcal{L}
=
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta(\partial_\mu\phi)
\]
Με \(\delta(\partial_\mu\phi)=\partial_\mu(\delta\phi)\):
\[
\delta S=
\int d^4x\left[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
\partial_\mu(\delta\phi)
\right]
\]
3.3 Ολοκλήρωση κατά μέρη
Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
\[
A^\mu\partial_\mu(\delta\phi)
=
\partial_\mu(A^\mu\delta\phi)
-(\partial_\mu A^\mu)\delta\phi
\]
με:
\[
A^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
\]
Ο όρος \(\partial_\mu(A^\mu\delta\phi)\) γίνεται συνοριακός και μηδενίζεται.
3.4 Τελικό αποτέλεσμα
\[
\delta S=
\int d^4x
\left[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}
-
\partial_\mu\left(
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
\right)
\right]\delta\phi
\]
Επειδή το \(\delta\phi(x)\) είναι αυθαίρετο:
\[
\boxed{
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}
-
\partial_\mu\left(
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
\right)=0
}
\]
Ισοδύναμα:
\[
\boxed{
\partial_\mu\left(
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}
\right)
-
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0
}
\]
Αυτή είναι η βασική μηχανή παραγωγής εξισώσεων πεδίου.
Ενότητα 4 — Κυματική εξίσωση από δράση
4.1 Λαγκρανζιανή πυκνότητα χορδής
\[
\mathcal{L}=\frac12\rho(\partial_t\phi)^2-\frac12T(\partial_x\phi)^2
\]
Το \(\rho\) είναι γραμμική πυκνότητα μάζας και το \(T\) τάση χορδής.
4.2 Euler–Lagrange σε \(1+1\) διαστάσεις
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}
-
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\phi)}\right)
-
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_x\phi)}\right)=0
\]
4.3 Υπολογισμοί
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0
\]
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\phi)}=\rho\partial_t\phi
\quad\Rightarrow\quad
\partial_t\left(\rho\partial_t\phi\right)=\rho\partial_t^2\phi
\]
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_x\phi)}=-T\partial_x\phi
\quad\Rightarrow\quad
\partial_x\left(-T\partial_x\phi\right)=-T\partial_x^2\phi
\]
4.4 Εξίσωση κίνησης
\[
0-\rho\partial_t^2\phi-(-T\partial_x^2\phi)=0
\]
\[
\rho\partial_t^2\phi-T\partial_x^2\phi=0
\]
\[
\boxed{\partial_t^2\phi-\frac{T}{\rho}\partial_x^2\phi=0}
\]
Με \(v^2=T/\rho\):
\[
\boxed{\partial_t^2\phi-v^2\partial_x^2\phi=0}
\]
Η καμπυλότητα της χορδής στον χώρο δημιουργεί χρονική επιτάχυνση. Αυτή είναι η δυναμική του κύματος.
Ενότητα 5 — Klein–Gordon αναλυτικά
5.1 Λαγκρανζιανή
\[
\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2
\]
Χρησιμοποιούμε \(\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\), άρα:
\[
\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi=(\partial_t\phi)^2-(\nabla\phi)^2
\]
5.2 Παράγωγος ως προς \(\phi\)
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-m^2\phi
\]
5.3 Παράγωγος ως προς \(\partial_\mu\phi\)
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=\partial^\mu\phi
\]
Αυτό είναι σημείο που μπερδεύει συχνά. Ο όρος \(\frac12\partial_\nu\phi\partial^\nu\phi\) παραγώγιζεται όπως το \(\frac12v^2\), δίνοντας \(v\), αλλά με δείκτες.
5.4 Εφαρμογή Euler–Lagrange
\[
-m^2\phi-\partial_\mu(\partial^\mu\phi)=0
\]
\[
\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi=0
\]
Ορίζουμε:
\[
\Box=\partial_\mu\partial^\mu=\partial_t^2-\nabla^2
\]
Τελικά:
\[
\boxed{(\Box+m^2)\phi=0}
\]
5.5 Σχέση με σχετικιστική ενέργεια
Αν δοκιμάσουμε επίπεδο κύμα:
\[
\phi(x)=Ae^{-ip_\mu x^\mu}
\]
τότε η Klein–Gordon οδηγεί σε:
\[
p_\mu p^\mu=m^2
\]
δηλαδή:
\[
E^2-\mathbf{p}^2=m^2
\quad\Rightarrow\quad
E^2=\mathbf{p}^2+m^2
\]
Έτσι η μορφή της Λαγκρανζιανής κωδικοποιεί τη σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής.
Ενότητα 6 — Πολλαπλά και μιγαδικά πεδία
6.1 Πολλαπλά πραγματικά πεδία
Αν έχουμε \(N\) πεδία:
\[
\phi_a(x),\qquad a=1,\ldots,N
\]
τότε για κάθε \(a\):
\[
\boxed{
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_a}
-\partial_\mu\left(
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}
\right)=0
}
\]
6.2 Μιγαδικό πεδίο
\[
\phi=\phi_1+i\phi_2,\qquad \phi^\ast=\phi_1-i\phi_2
\]
Στην πράξη θεωρούμε τα \(\phi\) και \(\phi^\ast\) ως ανεξάρτητες μεταβλητές.
6.3 Λαγκρανζιανή μιγαδικού βαθμωτού πεδίου
\[
\mathcal{L}=\partial_\mu\phi^\ast\partial^\mu\phi-m^2\phi^\ast\phi
\]
6.4 Μεταβολή ως προς \(\phi^\ast\)
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^\ast}=-m^2\phi
\]
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\ast)}=\partial^\mu\phi
\]
Άρα:
\[
-m^2\phi-\Box\phi=0
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{(\Box+m^2)\phi=0}
\]
6.5 Μεταβολή ως προς \(\phi\)
Ανάλογα:
\[
\boxed{(\Box+m^2)\phi^\ast=0}
\]
Το μιγαδικό πεδίο θα συνδεθεί αργότερα με συμμετρία φάσης \(U(1)\) και διατήρηση φορτίου.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία
7.1 Από ODE σε PDE
Μηχανική Θεωρία πεδίου άγνωστη \(q(t)\) άγνωστη \(\phi(t,\mathbf{x})\) συνήθης διαφορική εξίσωση μερική διαφορική εξίσωση πεπερασμένοι βαθμοί ελευθερίας άπειροι βαθμοί ελευθερίας
7.2 Τοπικότητα
Μία Λαγκρανζιανή της μορφής:
\[
\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)
\]
χρησιμοποιεί το πεδίο και τις παραγώγους του στο ίδιο σημείο. Αυτό είναι η τοπικότητα.
Στη σχετικιστική φυσική η τοπικότητα συνδέεται με την αιτιότητα. Δεν πρέπει να υπάρχουν ακαριαίες δράσεις από απόσταση.
7.3 Γιατί μας ενδιαφέρει πριν την κβάντωση;
Η κβαντική θεωρία πεδίου ξεκινά από την κλασική δράση. Από αυτήν θα προκύψουν:
\[
\mathcal{L}\rightarrow S\rightarrow \text{εξισώσεις κίνησης}\rightarrow \text{κβάντωση}\rightarrow \text{προπαγανδιστές και αλληλεπιδράσεις}
\]
Η Λαγκρανζιανή δεν είναι απλώς εργαλείο παραγωγής εξισώσεων· είναι η συμπυκνωμένη πληροφορία της θεωρίας.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Απλός αρμονικός ταλαντωτής
Δίνεται:
\[L=\frac12m\dot q^2-\frac12kq^2\]
Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης.
Λύση
\[\frac{\partial L}{\partial q}=-kq\]
\[\frac{\partial L}{\partial\dot q}=m\dot q\]
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)=m\ddot q\]
\[m\ddot q-(-kq)=0\]
\[\boxed{m\ddot q+kq=0}\]
Άσκηση 2 — Κύμα σε χορδή
Δίνεται:
\[\mathcal{L}=\frac12\rho(\partial_t\phi)^2-\frac12T(\partial_x\phi)^2\]
Λύση
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0\]
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\phi)}=\rho\partial_t\phi,\qquad \partial_t(\rho\partial_t\phi)=\rho\partial_t^2\phi\]
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_x\phi)}=-T\partial_x\phi,\qquad \partial_x(-T\partial_x\phi)=-T\partial_x^2\phi\]
\[0-\rho\partial_t^2\phi-(-T\partial_x^2\phi)=0\]
\[\boxed{\partial_t^2\phi-\frac{T}{\rho}\partial_x^2\phi=0}\]
Άσκηση 3 — Klein–Gordon
Δίνεται:
\[\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2\]
Λύση
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-m^2\phi\]
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=\partial^\mu\phi\]
\[-m^2\phi-\partial_\mu\partial^\mu\phi=0\]
\[\boxed{(\Box+m^2)\phi=0}\]
Άσκηση 4 — Θεωρία \(\phi^4\)
Δίνεται:
\[\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\]
Λύση
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-m^2\phi-\frac{\lambda}{4!}4\phi^3=-m^2\phi-\frac{\lambda}{3!}\phi^3\]
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=\partial^\mu\phi\]
\[-m^2\phi-\frac{\lambda}{3!}\phi^3-\Box\phi=0\]
\[\boxed{\Box\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0}\]
Ο όρος \(\lambda\phi^3/3!\) είναι μη γραμμικός και εκφράζει την αυτοαλληλεπίδραση.
Άσκηση 5 — Γενικό δυναμικό \(V(\phi)\)
Δίνεται:
\[\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-V(\phi)\]
Να δείξετε ότι \(\Box\phi+\frac{dV}{d\phi}=0\).
Λύση
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-\frac{dV}{d\phi}\]
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=\partial^\mu\phi\]
\[-\frac{dV}{d\phi}-\Box\phi=0\]
\[\boxed{\Box\phi+\frac{dV}{d\phi}=0}\]
Άσκηση 6 — Μιγαδικό βαθμωτό πεδίο
Δίνεται:
\[\mathcal{L}=\partial_\mu\phi^\ast\partial^\mu\phi-m^2\phi^\ast\phi\]
Λύση ως προς \(\phi^\ast\)
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^\ast}=-m^2\phi\]
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\ast)}=\partial^\mu\phi\]
\[-m^2\phi-\Box\phi=0\quad\Rightarrow\quad\boxed{(\Box+m^2)\phi=0}\]
Λύση ως προς \(\phi\)
\[\boxed{(\Box+m^2)\phi^\ast=0}\]
Άσκηση 7 — Maxwell από δράση
Πιο προχωρημένη. Δίνεται:
\[\mathcal{L}=-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-j_\mu A^\mu,\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\]
Να δείξετε ότι:
\[\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\]
Λύση
Το πεδίο είναι το \(A_\nu\). Για κάθε συνιστώσα:
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\right)=0\]
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}=-j^\nu\]
Λόγω αντισυμμετρίας του \(F_{\mu\nu}\):
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=-F^{\mu\nu}\]
Άρα:
\[-j^\nu-\partial_\mu(-F^{\mu\nu})=0\]
\[\boxed{\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu}\]
Η άσκηση αυτή είναι πρόγευση θεωριών βαθμίδας. Η πλήρης λεπτομέρεια της αντισυμμετρίας θα επανέλθει στο μάθημα της QED.
Άσκηση 8 — Διαστάσεις σε \(3+1\) διαστάσεις
Για τη θεωρία \(\phi^4\), να βρεθούν οι διαστάσεις \([\phi]\) και \([\lambda]\) σε φυσικές μονάδες.
Λύση
Η δράση είναι αδιάστατη και \(S=\int d^4x\,\mathcal{L}\). Επειδή \([d^4x]=M^{-4}\), πρέπει:
\[[\mathcal{L}]=M^4\]
Από τον κινητικό όρο:
\[(\partial\phi)^2\sim M^4,\qquad [\partial]=M\]
\[[\partial\phi]=M^2\quad\Rightarrow\quad\boxed{[\phi]=M}\]
Από τον όρο \(\lambda\phi^4\):
\[[\lambda][\phi]^4=M^4\]
\[[\lambda]M^4=M^4\quad\Rightarrow\quad\boxed{[\lambda]=M^0}\]
Άρα η \(\lambda\) είναι αδιάστατη σε τέσσερις χωροχρονικές διαστάσεις.
Μαθηματικό συμπλήρωμα μαθήματος 2
Μ1. Λογισμός μεταβολών
Στον απλό λογισμό, στάσιμο σημείο σημαίνει:
\[\frac{df}{dx}=0\]
Στον λογισμό μεταβολών, η συνάρτηση αντικαθίσταται από συναρτησιακό:
\[S[\phi]\]
και η συνθήκη είναι:
\[\delta S=0\]
Μ2. Συναρτησιακή παράγωγος
Ορίζεται μέσω:
\[\delta S=\int d^4x\,\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta\phi(x)\]
Για δράση πρώτων παραγώγων:
\[
\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}
=
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}
-
\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)
\]
Μ3. Ολοκλήρωση κατά μέρη σε πολλές διαστάσεις
\[
A^\mu\partial_\mu B=\partial_\mu(A^\mu B)-(\partial_\mu A^\mu)B
\]
\[
\int_\Omega d^4x\,\partial_\mu(A^\mu B)=\int_{\partial\Omega}d\Sigma_\mu A^\mu B
\]
Αν \(B=\delta\phi\) και \(\delta\phi=0\) στο σύνορο, ο όρος επιφάνειας μηδενίζεται.
Μ4. Σύμβαση Einstein
Επαναλαμβανόμενος δείκτης μία φορά πάνω και μία κάτω σημαίνει άθροιση:
\[A_\mu B^\mu=\sum_{\mu=0}^3 A_\mu B^\mu\]
Μ5. Μετρική Minkowski
\[\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\]
\[A_\mu B^\mu=A^0B^0-A^1B^1-A^2B^2-A^3B^3\]
Μ6. Ανύψωση και χαμήλωμα δεικτών
\[A_\mu=\eta_{\mu\nu}A^\nu,\qquad A^\mu=\eta^{\mu\nu}A_\nu\]
Άρα \(A_0=A^0\), ενώ \(A_i=-A^i\).
Μ7. Γιατί ο κινητικός όρος δίνει \(\partial^\mu\phi\);
\[
\frac12\partial_\nu\phi\partial^\nu\phi
=
\frac12\eta^{\nu\rho}(\partial_\nu\phi)(\partial_\rho\phi)
\]
\[
\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}
\left[\frac12\eta^{\nu\rho}(\partial_\nu\phi)(\partial_\rho\phi)\right]
=
\frac12\eta^{\nu\rho}
\left[\delta^\mu_\nu\partial_\rho\phi+\partial_\nu\phi\,\delta^\mu_\rho\right]
\]
\[
=\frac12(\eta^{\mu\rho}\partial_\rho\phi+\eta^{\nu\mu}\partial_\nu\phi)=\partial^\mu\phi
\]
Μ8. Πολλαπλά πεδία
\[
\mathcal{L}=\mathcal{L}(\phi_a,\partial_\mu\phi_a)
\quad\Rightarrow\quad
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_a}
-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\right)=0
\]
Ευρετήριο βασικών εννοιών
Στα επόμενα μαθήματα το ευρετήριο μπορεί να λειτουργεί ως ενιαίο λεξικό θεωρίας πεδίου.