Μάθημα 19
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: η θεωρία \(SU(2)_L\times U(1)_Y\),
αριστερά διπλέτα, δεξιά singlets, υπερφόρτιση, Higgs doublet,
αυθόρμητη ρήξη σε \(U(1)_{\rm em}\), μάζες \(W^\pm,Z^0\), φωτόνιο και γωνία Weinberg.
⛶ Fullscreen
Οδηγίες χρήσης
Λυμένες ασκήσεις
Μαθηματικό συμπλήρωμα
Ευρετήριο
Κεντρικός στόχος
Η ηλεκτρασθενής θεωρία ενοποιεί την ηλεκτρομαγνητική και την ασθενή αλληλεπίδραση σε μια gauge θεωρία
με ομάδα \(SU(2)_L\times U(1)_Y\). Η συμμετρία δεν φαίνεται άμεσα στη χαμηλή ενέργεια, επειδή
σπάει αυθόρμητα από το πεδίο Higgs.
\[
SU(2)_L\times U(1)_Y
\xrightarrow{\langle\Phi\rangle=v/\sqrt2}
U(1)_{\rm em}
\]
Από αυτή τη ρήξη προκύπτουν τα μαζικά \(W^\pm\), \(Z^0\), το άμαζο φωτόνιο και το σωματίδιο Higgs.
Θα ορίσουμε
Θα καταλάβουμε
Θα δείξουμε
Θα δούμε
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η ομάδα \(SU(2)_L\times U(1)_Y\) Ασθενές ισοσπίν και υπερφόρτιση.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 2 Χειραλικότητα φερμιονίων Αριστερά διπλέτα, δεξιά singlets και παραβίαση parity.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Gauge πεδία και συναλλοίωτη παράγωγος Τα \(W_\mu^a\), \(B_\mu\) και η \(D_\mu\) της ηλεκτρασθενούς θεωρίας.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Higgs doublet και δυναμικό Το διπλέτο Higgs, το κενό \(v\) και η ρήξη συμμετρίας.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Μάζες \(W\), \(Z\) και φωτόνιο Πώς προκύπτουν \(W^\pm\), \(Z^0\), \(A_\mu\) και η γωνία Weinberg.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Yukawa όροι και μάζες φερμιονίων Πώς το Higgs δίνει μάζα σε ηλεκτρόνια και κουάρκ.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Φυσική εικόνα Φορτισμένα και ουδέτερα ρεύματα, χαμηλή ενέργεια και ένωση σε υψηλή ενέργεια.
Άνοιγμα ενότητας →
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις Φορτία, Weinberg mixing, μάζες \(W,Z\), Yukawa μάζες και \(G_F\).
Άνοιγμα →
Ενότητα
← Προηγ.
Επόμ. →
Κλείσιμο ✕
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα είναι πυκνό γιατί ενώνει πολλά προηγούμενα κεφάλαια. Κράτησε πρώτα τη μεγάλη εικόνα:
\(SU(2)_L\times U(1)_Y\) σπάει σε \(U(1)_{\rm em}\). Μετά διάβασε προσεκτικά τις μάζες \(W,Z\)
και τη μίξη \(W^3\)-\(B\).
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Η ομάδα \(SU(2)_L\times U(1)_Y\)
1.1 Από QED σε ηλεκτρασθενή θεωρία
Η QED έχει ομάδα \(U(1)_{\rm em}\). Η ασθενής αλληλεπίδραση όμως δεν περιγράφεται μόνο από αυτή.
Η ενοποιημένη ηλεκτρασθενής θεωρία έχει ομάδα:
\[
\boxed{SU(2)_L\times U(1)_Y}
\]
1.2 Τι σημαίνει \(SU(2)_L\);
Το \(SU(2)_L\) δρα σε αριστερόχειρα φερμιόνια. Το \(L\) σημαίνει left.
Τα αριστερόχειρα λεπτόνια οργανώνονται σε διπλέτα:
\[
L_e=
\begin{pmatrix}
\nu_{eL}\\
e_L
\end{pmatrix}
\]
1.3 Τι είναι το \(U(1)_Y\);
Είναι η ομάδα της ασθενούς υπερφόρτισης \(Y\).
Το \(Y\) δεν είναι το ηλεκτρικό φορτίο, αλλά συνδυάζεται με το \(T_3\) για να δώσει το \(Q\).
1.4 Σχέση Gell-Mann–Nishijima στην ηλεκτρασθενή μορφή
\[
\boxed{
Q=T_3+\frac{Y}{2}
}
\]
1.5 Παράδειγμα αριστερού λεπτονικού διπλέτου
Για:
\[
L_e=
\begin{pmatrix}
\nu_{eL}\\
e_L
\end{pmatrix}
\]
έχουμε \(Y=-1\). Για το νετρίνο:
\[
T_3=+\frac12,\quad
Q=\frac12-\frac12=0
\]
Για το ηλεκτρόνιο:
\[
T_3=-\frac12,\quad
Q=-\frac12-\frac12=-1
\]
Το ηλεκτρικό φορτίο δεν είναι ανεξάρτητος γεννήτορας στην αρχική θεωρία.
Εμφανίζεται μετά τη ρήξη ως ο αδιάσπαστος συνδυασμός \(Q=T_3+Y/2\).
Ενότητα 2 — Χειραλικότητα φερμιονίων
2.1 Αριστερά και δεξιά πεδία
Με τους προβολείς:
\[
P_L=\frac{1-\gamma^5}{2},
\qquad
P_R=\frac{1+\gamma^5}{2}
\]
ορίζουμε:
\[
\psi_L=P_L\psi,
\qquad
\psi_R=P_R\psi
\]
2.2 Η ασθενής αλληλεπίδραση είναι χειραλική
Το \(SU(2)_L\) δρα μόνο στα αριστερά πεδία. Αυτό είναι βαθιά διαφορά από την QED και την QCD,
που είναι πιο συμμετρικές ως προς αριστερά/δεξιά.
2.3 Λεπτόνια πρώτης γενιάς
Πεδίο \(SU(2)_L\) \(Y\) \(L_e=(\nu_{eL},e_L)^T\) διπλέτο \(-1\) \(e_R\) singlet \(-2\)
2.4 Κουάρκ πρώτης γενιάς
Πεδίο \(SU(2)_L\) \(Y\) \(Q_L=(u_L,d_L)^T\) διπλέτο \(+1/3\) \(u_R\) singlet \(+4/3\) \(d_R\) singlet \(-2/3\)
2.5 Παραβίαση parity
Επειδή η ασθενής αλληλεπίδραση βλέπει διαφορετικά τα αριστερά και τα δεξιά πεδία,
παραβιάζει την κατοπτρική συμμετρία parity.
Η χειραλικότητα είναι απαραίτητη για την ηλεκτρασθενή θεωρία.
Δεν είναι λεπτομέρεια: καθορίζει όλη τη δομή των ασθενών ρευμάτων.
Ενότητα 3 — Gauge πεδία και συναλλοίωτη παράγωγος
3.1 Gauge πεδία
Για το \(SU(2)_L\) έχουμε τρία gauge πεδία:
\[
W_\mu^1,\quad W_\mu^2,\quad W_\mu^3
\]
Για το \(U(1)_Y\) έχουμε ένα gauge πεδίο:
\[
B_\mu
\]
3.2 Συζεύξεις
Η σύζευξη του \(SU(2)_L\) είναι \(g\), ενώ η σύζευξη του \(U(1)_Y\) είναι \(g'\).
3.3 Συναλλοίωτη παράγωγος
Για πεδίο με ασθενές ισοσπίν και υπερφόρτιση:
\[
\boxed{
D_\mu=
\partial_\mu
+ig\frac{\tau^a}{2}W_\mu^a
+ig'\frac{Y}{2}B_\mu
}
\]
όπου \(\tau^a\) είναι οι μήτρες Pauli.
3.4 Φορτισμένα \(W\)
Τα φυσικά φορτισμένα πεδία είναι:
\[
\boxed{
W_\mu^\pm=
\frac{1}{\sqrt2}
(W_\mu^1\mp iW_\mu^2)
}
\]
3.5 Το \(W^3\) και το \(B\)
Το \(W_\mu^3\) και το \(B_\mu\) δεν είναι ακόμη τα φυσικά ουδέτερα πεδία.
Μετά τη ρήξη, αναμειγνύονται για να δώσουν το \(Z_\mu\) και το φωτόνιο \(A_\mu\).
Πριν από τη ρήξη έχουμε τέσσερα gauge πεδία: \(W^1,W^2,W^3,B\).
Μετά τη ρήξη τα ξαναγράφουμε ως \(W^+,W^-,Z,A\).
Ενότητα 4 — Higgs doublet και δυναμικό
4.1 Το πεδίο Higgs
Το Higgs είναι μιγαδικό \(SU(2)_L\) διπλέτο:
\[
\Phi=
\begin{pmatrix}
\phi^+\\
\phi^0
\end{pmatrix}
\]
με υπερφόρτιση:
\[
Y_\Phi=+1
\]
4.2 Δυναμικό Higgs
Το δυναμικό είναι:
\[
V(\Phi)=
-\mu^2\Phi^\dagger\Phi
+
\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2,
\qquad \lambda>0
\]
4.3 Κενό
Επιλέγουμε gauge ώστε το κενό να είναι:
\[
\boxed{
\langle\Phi\rangle=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
0\\
v
\end{pmatrix}
}
\]
όπου:
\[
v=\sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}
\]
4.4 Unitarty gauge
Στο unitary gauge γράφουμε:
\[
\Phi(x)=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
0\\
v+h(x)
\end{pmatrix}
\]
Τα τρία Goldstone πεδία απορροφώνται από τα \(W^\pm\) και \(Z\).
4.5 Το ηλεκτρομαγνητικό \(U(1)\) μένει άσπαστο
Το κενό είναι ουδέτερο ηλεκτρικά:
\[
Q\langle\Phi\rangle=0
\]
Άρα το \(U(1)_{\rm em}\) μένει αδιάσπαστο και το φωτόνιο παραμένει άμαζο.
Το Higgs δεν σπάει όλη την ηλεκτρασθενή συμμετρία.
Σπάει \(SU(2)_L\times U(1)_Y\) προς \(U(1)_{\rm em}\).
Ενότητα 5 — Μάζες \(W\), \(Z\) και φωτόνιο
5.1 Από πού έρχονται οι μάζες;
Οι μάζες των gauge μποζονίων προκύπτουν από τον κινητικό όρο του Higgs:
\[
(D_\mu\Phi)^\dagger(D^\mu\Phi)
\]
όταν βάλουμε \(\Phi\to\langle\Phi\rangle\).
5.2 Μάζα των \(W^\pm\)
Προκύπτει:
\[
\boxed{
m_W=\frac{gv}{2}
}
\]
5.3 Μίξη ουδέτερων πεδίων
Τα \(W_\mu^3\) και \(B_\mu\) αναμειγνύονται:
\[
\begin{pmatrix}
Z_\mu\\
A_\mu
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta_W & -\sin\theta_W\\
\sin\theta_W & \cos\theta_W
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
W_\mu^3\\
B_\mu
\end{pmatrix}
\]
5.4 Γωνία Weinberg
Ορίζεται από:
\[
\boxed{
\tan\theta_W=\frac{g'}{g}
}
\]
5.5 Μάζα του \(Z\)
Η μάζα του \(Z\) είναι:
\[
\boxed{
m_Z=\frac{v}{2}\sqrt{g^2+g'^2}
}
\]
5.6 Το φωτόνιο
Το \(A_\mu\) είναι το φωτόνιο και μένει άμαζο:
\[
\boxed{m_\gamma=0}
\]
5.7 Σχέση μαζών
Από τα παραπάνω:
\[
\boxed{
m_W=m_Z\cos\theta_W
}
\]
5.8 Ηλεκτρικό φορτίο
Το ηλεκτρικό φορτίο συνδέεται με τις συζεύξεις:
\[
\boxed{
e=g\sin\theta_W=g'\cos\theta_W
}
\]
Το φωτόνιο είναι ο αδιάσπαστος συνδυασμός των ουδέτερων gauge πεδίων.
Το \(Z\) είναι ο ορθογώνιος συνδυασμός που αποκτά μάζα.
Ενότητα 6 — Yukawa όροι και μάζες φερμιονίων
6.1 Γιατί δεν γράφουμε άμεσα μάζα;
Ένας Dirac όρος μάζας:
\[
-m\bar\psi\psi=-m(\bar\psi_L\psi_R+\bar\psi_R\psi_L)
\]
συνδέει αριστερό και δεξί πεδίο. Όμως στην ηλεκτρασθενή θεωρία αυτά μετασχηματίζονται διαφορετικά.
Άρα ο άμεσος όρος μάζας δεν είναι gauge invariant.
6.2 Yukawa όρος για το ηλεκτρόνιο
Γράφουμε gauge invariant όρο:
\[
\mathcal L_Y
=
-y_e\bar L_e\Phi e_R+\text{h.c.}
\]
6.3 Μετά τη ρήξη
Με:
\[
\Phi=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
0\\
v+h
\end{pmatrix}
\]
παίρνουμε:
\[
\mathcal L_Y
=
-\frac{y_ev}{\sqrt2}\bar e e
-
\frac{y_e}{\sqrt2}h\bar e e
\]
6.4 Μάζα ηλεκτρονίου
\[
\boxed{
m_e=\frac{y_ev}{\sqrt2}
}
\]
6.5 Σύζευξη Higgs-φερμιονίου
Ο όρος:
\[
-\frac{y_e}{\sqrt2}h\bar e e
\]
δείχνει ότι το Higgs συζεύγνυται ισχυρότερα με βαρύτερα φερμιόνια:
\[
y_f=\frac{\sqrt2m_f}{v}
\]
6.6 Κουάρκ
Για τα κουάρκ υπάρχουν Yukawa όροι για up-type και down-type κουάρκ.
Η μίξη των γενεών οδηγεί στον πίνακα CKM.
Οι μάζες των φερμιονίων δεν μπαίνουν αυθαίρετα ως Dirac μάζες.
Προκύπτουν από Yukawa συζεύξεις με το Higgs.
Ενότητα 7 — Φυσική εικόνα της ηλεκτρασθενούς θεωρίας
7.1 Φορτισμένα ρεύματα
Τα \(W^\pm\) μεσολαβούν σε φορτισμένες ασθενείς διεργασίες:
\[
\nu_e \leftrightarrow e^-,
\qquad
u\leftrightarrow d
\]
Αλλάζουν το ηλεκτρικό φορτίο του φερμιονίου.
7.2 Ουδέτερα ρεύματα
Το \(Z^0\) μεσολαβεί σε ουδέτερες ασθενείς διεργασίες:
\[
f\to f
\]
χωρίς αλλαγή ηλεκτρικού φορτίου.
7.3 Ηλεκτρομαγνητισμός
Το φωτόνιο \(A_\mu\) συζεύγνυται με το ηλεκτρικό ρεύμα:
\[
eA_\mu J^\mu_{\rm em}
\]
7.4 Χαμηλή ενέργεια
Σε χαμηλές ενέργειες, επειδή τα \(W,Z\) είναι βαριά, η ασθενής αλληλεπίδραση φαίνεται βραχείας εμβέλειας.
7.5 Υψηλή ενέργεια
Σε ενέργειες πολύ μεγαλύτερες από \(m_W,m_Z\), η ηλεκτρομαγνητική και η ασθενής αλληλεπίδραση εμφανίζουν
την ενιαία ηλεκτρασθενή δομή.
7.6 Μεγάλο συμπέρασμα
Η ηλεκτρασθενής θεωρία είναι ένα παράδειγμα όπου η συμμετρία της Λαγκρανζιανής είναι μεγαλύτερη από τη φανερή
συμμετρία του κενού.
Το φωτόνιο, το \(Z\), τα \(W^\pm\) και το Higgs είναι διαφορετικές εκδηλώσεις της ίδιας ηλεκτρασθενούς δομής μετά τη ρήξη.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Ηλεκτρικό φορτίο λεπτονικού διπλέτου
Για \(L_e=(\nu_{eL},e_L)^T\), με \(Y=-1\), δείξτε ότι τα φορτία είναι \(0\) και \(-1\).
Λύση
Χρησιμοποιούμε:
\[
Q=T_3+\frac{Y}{2}
\]
Για το πάνω μέλος:
\[
T_3=+\frac12,\quad Y=-1
\Rightarrow
Q=\frac12-\frac12=0
\]
Για το κάτω μέλος:
\[
T_3=-\frac12,\quad Y=-1
\Rightarrow
Q=-\frac12-\frac12=-1
\]
Άσκηση 2 — Φορτία κουάρκ διπλέτου
Για \(Q_L=(u_L,d_L)^T\), με \(Y=1/3\), βρείτε τα φορτία.
Λύση
Για το \(u_L\):
\[
Q_u=\frac12+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}
\]
Για το \(d_L\):
\[
Q_d=-\frac12+\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}
\]
Άσκηση 3 — Μάζα \(W\)
Αν το Higgs έχει κενό \(v\), δείξτε τη μορφή της μάζας \(W\).
Λύση
Από τον κινητικό όρο:
\[
(D_\mu\Phi)^\dagger(D^\mu\Phi)
\]
μετά την αντικατάσταση \(\Phi\to(0,v/\sqrt2)^T\), ο τετραγωνικός όρος για τα \(W^1,W^2\)
δίνει:
\[
m_W^2=\frac{g^2v^2}{4}
\]
Άρα:
\[
\boxed{m_W=\frac{gv}{2}}
\]
Άσκηση 4 — Μάζα \(Z\)
Δίνεται ότι ο ουδέτερος μαζικός συνδυασμός έχει σύζευξη \(\sqrt{g^2+g'^2}\). Να βρείτε \(m_Z\).
Λύση
Ο τετραγωνικός όρος μάζας δίνει:
\[
m_Z^2=\frac{v^2}{4}(g^2+g'^2)
\]
Άρα:
\[
\boxed{
m_Z=\frac{v}{2}\sqrt{g^2+g'^2}
}
\]
Άσκηση 5 — Σχέση \(m_W=m_Z\cos\theta_W\)
Με \(\cos\theta_W=g/\sqrt{g^2+g'^2}\), δείξτε τη σχέση.
Λύση
\[
m_Z\cos\theta_W=
\frac{v}{2}\sqrt{g^2+g'^2}
\frac{g}{\sqrt{g^2+g'^2}}
=
\frac{gv}{2}
=
m_W
\]
\[
\boxed{m_W=m_Z\cos\theta_W}
\]
Άσκηση 6 — Ηλεκτρικό φορτίο από \(g,g'\)
Αν \(\tan\theta_W=g'/g\), δείξτε ότι \(e=g\sin\theta_W=g'\cos\theta_W\).
Λύση
Από τον ορισμό:
\[
\sin\theta_W=\frac{g'}{\sqrt{g^2+g'^2}},
\qquad
\cos\theta_W=\frac{g}{\sqrt{g^2+g'^2}}
\]
Άρα:
\[
g\sin\theta_W=
\frac{gg'}{\sqrt{g^2+g'^2}}
\]
και:
\[
g'\cos\theta_W=
\frac{g'g}{\sqrt{g^2+g'^2}}
\]
Επομένως:
\[
\boxed{e=g\sin\theta_W=g'\cos\theta_W}
\]
Άσκηση 7 — Yukawa μάζα ηλεκτρονίου
Από \(\mathcal L_Y=-y_e\bar L\Phi e_R+\text{h.c.}\), βρείτε τη μάζα του ηλεκτρονίου.
Λύση
Με:
\[
\Phi=
\frac{1}{\sqrt2}
\begin{pmatrix}
0\\
v+h
\end{pmatrix}
\]
παίρνουμε όρο:
\[
-\frac{y_ev}{\sqrt2}\bar e e
\]
Άρα:
\[
\boxed{m_e=\frac{y_ev}{\sqrt2}}
\]
Άσκηση 8 — Σχέση \(G_F\) και \(v\)
Σε χαμηλές ενέργειες, η ασθενής αλληλεπίδραση περιγράφεται από τη σταθερά Fermi \(G_F\).
Η σχέση με το \(v\) είναι:
\[
\frac{G_F}{\sqrt2}=\frac{1}{2v^2}
\]
Βρείτε το \(v\) συναρτήσει του \(G_F\).
Λύση
Από:
\[
\frac{G_F}{\sqrt2}=\frac{1}{2v^2}
\]
παίρνουμε:
\[
v^2=\frac{1}{\sqrt2G_F}
\]
άρα:
\[
\boxed{
v=\left(\sqrt2G_F\right)^{-1/2}
}
\]
Μαθηματικό συμπλήρωμα μαθήματος 19
Μ1. Ομάδα ηλεκτρασθενούς θεωρίας
\[
SU(2)_L\times U(1)_Y
\]
Μ2. Ηλεκτρικό φορτίο
\[
Q=T_3+\frac{Y}{2}
\]
Μ3. Συναλλοίωτη παράγωγος
\[
D_\mu=
\partial_\mu
+ig\frac{\tau^a}{2}W_\mu^a
+ig'\frac{Y}{2}B_\mu
\]
Μ4. Charged \(W\) πεδία
\[
W_\mu^\pm=
\frac{1}{\sqrt2}(W_\mu^1\mp iW_\mu^2)
\]
Μ5. Weinberg mixing
\[
Z_\mu=\cos\theta_W W_\mu^3-\sin\theta_W B_\mu
\]
\[
A_\mu=\sin\theta_W W_\mu^3+\cos\theta_W B_\mu
\]
Μ6. Μάζες gauge μποζονίων
\[
m_W=\frac{gv}{2},
\qquad
m_Z=\frac{v}{2}\sqrt{g^2+g'^2},
\qquad
m_\gamma=0
\]
Μ7. Ηλεκτρική σύζευξη
\[
e=g\sin\theta_W=g'\cos\theta_W
\]
Μ8. Yukawa μάζα
\[
m_f=\frac{y_fv}{\sqrt2}
\]
Ευρετήριο βασικών εννοιών