Μάθημα 17 Μη Αβελιανές Θεωρίες Βαθμίδας — Yang–Mills
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: από την αβελιανή \(U(1)\) της QED στις μη αβελιανές
\(SU(N)\) θεωρίες, γεννήτορες, δομικές σταθερές, συναλλοίωτη παράγωγο, τανυστή πεδίου,
αυτοαλληλεπιδράσεις gauge μποζονίων και σύνδεση με QCD.
Κεντρικός στόχος
Στην QED η ομάδα βαθμίδας είναι \(U(1)\), άρα αβελιανή: οι μετασχηματισμοί «μετατίθενται».
Στις θεωρίες Yang–Mills η ομάδα είναι συνήθως \(SU(N)\), όπου οι γεννήτορες δεν μετατίθενται.
Αυτό δημιουργεί ένα νέο φαινόμενο: τα ίδια τα gauge πεδία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.
Ο μη αβελιανός όρος \(f^{abc}A_\mu^bA_\nu^c\) είναι η μεγάλη διαφορά από την QED.
Θα περάσουμε από \(U(1)\) σε \(SU(N)\).
Θα ορίσουμε γεννήτορες \(T^a\) και δομικές σταθερές \(f^{abc}\).
Θα κατασκευάσουμε τη συναλλοίωτη παράγωγο και το \(F_{\mu\nu}^a\).
Θα δούμε γιατί γκλουόνια και Yang–Mills μποζόνια αυτοαλληλεπιδρούν.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Οι θεωρίες Yang–Mills είναι η βάση του Καθιερωμένου Προτύπου:
\(SU(3)\) για την ισχυρή αλληλεπίδραση και \(SU(2)\times U(1)\) για την ηλεκτρασθενή.
Το επόμενο βήμα μπορεί να είναι η QCD ή η ηλεκτρασθενής θεωρία.
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα είναι η μετάβαση από την QED στις θεωρίες του Καθιερωμένου Προτύπου.
Το κλειδί είναι να καταλάβεις τη σχέση
\([T^a,T^b]=if^{abc}T^c\). Από αυτή προκύπτει ο μη αβελιανός όρος στο \(F_{\mu\nu}^a\).
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Αβελιανή και μη αβελιανή συμμετρία
1.1 Τι σημαίνει αβελιανή;
Μια ομάδα είναι αβελιανή όταν δύο διαδοχικοί μετασχηματισμοί μετατίθενται:
\[
U_1U_2=U_2U_1
\]
Η \(U(1)\) της QED είναι αβελιανή.
1.2 Τι σημαίνει μη αβελιανή;
Μια ομάδα είναι μη αβελιανή όταν γενικά:
\[
U_1U_2\neq U_2U_1
\]
Παραδείγματα:
\[
SU(2),\qquad SU(3),\qquad SU(N)
\]
1.3 Γιατί αυτό είναι φυσικά σημαντικό;
Στην QED το φωτόνιο δεν έχει ηλεκτρικό φορτίο. Άρα τα φωτόνια δεν αλληλεπιδρούν άμεσα μεταξύ τους.
Στις μη αβελιανές θεωρίες, τα gauge μποζόνια φέρουν το ίδιο είδος φορτίου της θεωρίας.
1.4 Συνέπεια
Τα gauge πεδία αυτοαλληλεπιδρούν:
\[
\text{για }SU(N):
\quad
A+A\to A,
\qquad
A+A\to A+A
\]
1.5 Η μεγάλη διαφορά από QED
Θεωρία
Ομάδα
Gauge μποζόνια
Αυτοαλληλεπίδραση;
QED
\(U(1)\)
φωτόνιο
όχι άμεσα
Yang–Mills
\(SU(N)\)
\(N^2-1\) μποζόνια
ναι
QCD
\(SU(3)\)
8 γκλουόνια
ναι
Η μη αβελιανή φύση είναι η ρίζα της ασυμπτωτικής ελευθερίας και του confinement στην QCD.
Ενότητα 2 — Ομάδες \(SU(N)\), γεννήτορες και δομικές σταθερές
2.1 Τι είναι \(SU(N)\);
Η \(SU(N)\) είναι η ομάδα των \(N\times N\) μοναδιακών πινάκων με ορίζουσα 1:
\[
U^\dagger U=1,
\qquad
\det U=1
\]
2.2 Γεννήτορες
Ένας απειροστός μετασχηματισμός γράφεται:
\[
U(x)=\exp[i\alpha^a(x)T^a]
\]
Οι \(T^a\) είναι οι γεννήτορες της ομάδας.
2.3 Πόσοι γεννήτορες υπάρχουν;
Η \(SU(N)\) έχει:
\[
\boxed{N^2-1}
\]
γεννήτορες.
2.4 Άλγεβρα Lie
Οι γεννήτορες ικανοποιούν:
\[
\boxed{
[T^a,T^b]=if^{abc}T^c
}
\]
Τα \(f^{abc}\) λέγονται δομικές σταθερές.
2.5 Κανονικοποίηση
Συχνά επιλέγουμε:
\[
\mathrm{Tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}
\]
2.6 Παραδείγματα
Ομάδα
Γεννήτορες
Φυσική εμφάνιση
\(SU(2)\)
3
ηλεκτρασθενής \(SU(2)_L\)
\(SU(3)\)
8
QCD, χρώμα
Στην \(U(1)\) έχουμε ουσιαστικά έναν γεννήτορα και ο μεταθέτης είναι μηδέν.
Στην \(SU(N)\) οι μεταθέτες γενικά δεν μηδενίζονται.
Ενότητα 3 — Συναλλοίωτη παράγωγος Yang–Mills
3.1 Πεδίο ύλης
Έστω πεδίο ύλης \(\psi\) που μετασχηματίζεται ως:
\[
\psi(x)\to U(x)\psi(x)
\]
όπου:
\[
U(x)=e^{i\alpha^a(x)T^a}
\]
3.2 Το πρόβλημα
Όπως στην \(U(1)\), η απλή παράγωγος δεν μετασχηματίζεται σωστά: