Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: η πλήρης θεωρία ηλεκτρονίων και φωτονίων,
η Λαγκρανζιανή QED, οι προπαγανδιστές Dirac και φωτονίου, η κορυφή \(-ie\gamma^\mu\),
βασικές διαδικασίες σκέδασης και η σημασία της gauge invariance.
Κεντρικός στόχος
Η QED είναι η κβαντική θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού. Περιγράφει φορτισμένα φερμιόνια,
όπως το ηλεκτρόνιο, που αλληλεπιδρούν με το φωτόνιο μέσω τοπικής \(U(1)\) συμμετρίας.
Η QED είναι το πρότυπο παράδειγμα επιτυχημένης κβαντικής θεωρίας πεδίου:
gauge symmetry, φερμιόνια, μποζόνια βαθμίδας, προπαγανδιστές, κορυφές και ανακανονικοποίηση.
Θα συνθέσουμε Dirac πεδίο και ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε μία Λαγκρανζιανή.
Θα γράψουμε τους βασικούς κανόνες Feynman της QED.
Θα καταλάβουμε τι παριστάνει η κορυφή ηλεκτρονίου-φωτονίου.
Θα δούμε πώς ξεκινούν οι υπολογισμοί σκέδασης όπως \(e^-\mu^-\to e^-\mu^-\).
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Με την QED έχουμε το πρώτο πλήρες παράδειγμα ρεαλιστικής gauge θεωρίας.
Το επόμενο φυσικό βήμα είναι οι μη αβελιανές θεωρίες Yang–Mills, δηλαδή η γλώσσα των \(SU(2)\) και \(SU(3)\).
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα αυτό συνδυάζει τα προηγούμενα: Dirac πεδίο, gauge συμμετρία και Feynman κανόνες.
Διάβασε πρώτα τις ενότητες 1–4 και μετά το παράδειγμα σκέδασης.
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ο δείκτης \(\mu\) της \(\gamma^\mu\) συνδέεται με τον δείκτη Lorentz του φωτονίου.
Όταν η κορυφή συνδέεται με προπαγανδιστή φωτονίου, οι δείκτες συστέλλονται.
4.5 Ροή φερμιονικής γραμμής
Στα διαγράμματα με φερμιόνια έχει σημασία η φορά της φερμιονικής γραμμής.
Τα εξωτερικά φερμιόνια συνοδεύονται από σπινόρες \(u,\bar u,v,\bar v\).
Εξωτερική γραμμή
Παράγοντας
εισερχόμενο ηλεκτρόνιο
\(u(p)\)
εξερχόμενο ηλεκτρόνιο
\(\bar u(p)\)
εισερχόμενο ποζιτρόνιο
\(\bar v(p)\)
εξερχόμενο ποζιτρόνιο
\(v(p)\)
Η QED κορυφή είναι το σημείο όπου το φορτισμένο φερμιόνιο εκπέμπει ή απορροφά φωτόνιο.
Ενότητα 5 — Παράδειγμα σκέδασης \(e^-\mu^-\to e^-\mu^-\)
5.1 Γιατί επιλέγουμε μιόνιο;
Η σκέδαση ηλεκτρονίου-μιονίου είναι καθαρό παράδειγμα, επειδή τα δύο φερμιόνια είναι διαφορετικά.
Έτσι αποφεύγουμε αρχικά επιπλέον διαγράμματα ανταλλαγής ίδιων σωματιδίων.
Το ηλεκτρόνιο και το μιόνιο αλληλεπιδρούν μέσω ανταλλαγής εικονικού φωτονίου.
Το φωτόνιο είναι εσωτερική γραμμή, άρα γενικά off-shell:
\[
q^2\neq0
\]
Το παραπάνω πλάτος είναι το πρότυπο για το πώς γράφουμε QED amplitudes: ρεύμα–προπαγανδιστής–ρεύμα.
Ενότητα 6 — Loops και ανακανονικοποίηση στην QED
6.1 Τρεις βασικές one-loop διορθώσεις
Διόρθωση
Τι επηρεάζει
electron self-energy
μάζα και κανονικοποίηση ηλεκτρονίου
vacuum polarization
προπαγανδιστή φωτονίου και running του φορτίου
vertex correction
κορυφή ηλεκτρονίου-φωτονίου
6.2 Electron self-energy
electron ────•────○────•──── electron
photon loop
Διορθώνει τον προπαγανδιστή του ηλεκτρονίου.
6.3 Vacuum polarization
photon ────○──── photon
e⁻e⁺ loop
Το κενό πολώνεται από εικονικά ζεύγη ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου.
6.4 Vertex correction
electron ──•── electron
\ /
photon loop
|
photon
Διορθώνει τον κανόνα κορυφής \(-ie\gamma^\mu\).
6.5 Running του ηλεκτρικού φορτίου
Στην QED το αποτελεσματικό φορτίο εξαρτάται από την κλίμακα:
\[
e=e(\mu)
\]
Ισοδύναμα:
\[
\alpha(\mu)=\frac{e^2(\mu)}{4\pi}
\]
6.6 Ward identity
Η gauge invariance επιβάλλει σχέσεις ανάμεσα στις διορθώσεις. Μία κεντρική σχέση είναι ότι η
ανακανονικοποίηση της κορυφής και του πεδίου ηλεκτρονίου συνδέονται.
Η QED είναι ανακανονικοποιήσιμη. Τα άπειρα των loops απορροφώνται σε πεπερασμένο αριθμό φυσικών παραμέτρων.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία της QED
7.1 Το φωτόνιο ως κβάντο πεδίου
Το φωτόνιο δεν είναι απλώς μικρή «μπίλια φωτός». Είναι κβάντο του gauge πεδίου \(A_\mu\).
Γι' αυτό η διαταρακτική ανάπτυξη σε δυνάμεις του \(\alpha\) λειτουργεί εξαιρετικά καλά σε χαμηλές ενέργειες.
7.5 Το μεγάλο μήνυμα
Η QED δείχνει πώς μια συμμετρία — η τοπική \(U(1)\) — καθορίζει τη μορφή της αλληλεπίδρασης.
Αυτό είναι το πρότυπο πάνω στο οποίο χτίζονται οι πιο σύνθετες gauge θεωρίες.
Η QED είναι το πρώτο ολοκληρωμένο παράδειγμα όπου η QFT δίνει ακριβείς, μετρήσιμες και εντυπωσιακά επιβεβαιωμένες προβλέψεις.
Η Ward identity εκφράζει τη συνέπεια της gauge invariance στα κβαντικά πλάτη.
Σε απλή γλώσσα: μη φυσικές πολώσεις του φωτονίου δεν πρέπει να επηρεάζουν φυσικά αποτελέσματα.
\[
\boxed{
\text{gauge invariance}
\quad\Rightarrow\quad
\text{σχέσεις ανάμεσα σε προπαγανδιστές και κορυφές}
}
\]
Άσκηση 8 — Διάσταση της σύζευξης \(e\)
Σε τέσσερις διαστάσεις, βρείτε τη διάσταση του \(e\) από τον όρο
\(e\bar\psi\gamma^\mu A_\mu\psi\).