Μάθημα 15
Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: από την ανάγκη μιας σχετικιστικής εξίσωσης πρώτης τάξης
στην εξίσωση Dirac, τις μήτρες \(\gamma^\mu\), τη Λαγκρανζιανή Dirac, τους σπινόρες,
τα αντισωματίδια και την κβάντωση με αντιμεταθέτες.
⛶ Fullscreen
Οδηγίες χρήσης
Λυμένες ασκήσεις
Μαθηματικό συμπλήρωμα
Ευρετήριο
Κεντρικός στόχος
Μέχρι τώρα δουλέψαμε κυρίως με βαθμωτά πεδία. Για να περιγράψουμε ηλεκτρόνια, μιόνια,
κουάρκ και γενικά σωματίδια spin \(1/2\), χρειαζόμαστε πεδίο Dirac.
\[
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0,
\qquad
\mathcal L_D=\bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi
\]
Το κρίσιμο νέο στοιχείο είναι ότι το πεδίο Dirac κβαντώνεται με αντιμεταθέτες ,
όχι με μεταθέτες. Αυτό οδηγεί σε φερμιόνια και στην αρχή Pauli.
Θα εξηγήσουμε
Θα ορίσουμε
Θα δούμε
Θα κβαντώσουμε
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Γιατί εξίσωση Dirac; Το πρόβλημα της σχετικιστικής κβαντομηχανικής και η ανάγκη πρώτης τάξης στον χρόνο.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 2 Μήτρες \(\gamma^\mu\) Άλγεβρα Clifford και σχέση με τη σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Λαγκρανζιανή Dirac Το \(\bar\psi\), η εξίσωση κίνησης και το διατηρούμενο ρεύμα.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Λύσεις επίπεδου κύματος Σπινόρες \(u_s(p)\), \(v_s(p)\), θετική/αρνητική ενέργεια και αντισωματίδια.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Κβάντωση με αντιμεταθέτες Γιατί τα φερμιόνια δεν κβαντώνονται με μεταθέτες.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Φορτίο, ρεύμα και QED Η σύζευξη \(\bar\psi\gamma^\mu A_\mu\psi\) και η γέφυρα προς την κβαντική ηλεκτροδυναμική.
Άνοιγμα ενότητας →
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Φυσική ερμηνεία Spin, αντισωματίδια, Pauli και η διαφορά μποζονίων-φερμιονίων.
Άνοιγμα ενότητας →
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις Άλγεβρα γάμμα, εξίσωση Dirac, ρεύμα, on-shell συνθήκη και αντιμεταθέτες.
Άνοιγμα →
Ενότητα
← Προηγ.
Επόμ. →
Κλείσιμο ✕
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα έχει περισσότερη γραμμική άλγεβρα από τα προηγούμενα. Διάβασε αργά τις ενότητες 1–3,
γιατί εκεί μπαίνουν οι μήτρες \(\gamma^\mu\) και το \(\bar\psi\). Οι ασκήσεις στο τέλος λειτουργούν ως επανάληψη.
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Γιατί χρειαζόμαστε την εξίσωση Dirac;
1.1 Το πρόβλημα
Η μη σχετικιστική εξίσωση Schrödinger είναι πρώτης τάξης στον χρόνο:
\[
i\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi
\]
Αυτό επιτρέπει καλή ερμηνεία αρχικών συνθηκών και πυκνότητας πιθανότητας.
1.2 Η σχετικιστική σχέση
Για ελεύθερο σχετικιστικό σωματίδιο:
\[
E^2=\mathbf p^2+m^2
\]
Αν κάνουμε \(E\to i\partial_t\), \(\mathbf p\to -i\nabla\), παίρνουμε την Klein–Gordon:
\[
(\Box+m^2)\phi=0
\]
Αυτή είναι δεύτερης τάξης στον χρόνο.
1.3 Η ιδέα του Dirac
Ο Dirac ζήτησε μια εξίσωση πρώτης τάξης:
\[
i\frac{\partial\psi}{\partial t}
=
H_D\psi
\]
με Hamiltonian γραμμικό στην ορμή:
\[
H_D=\boldsymbol{\alpha}\cdot\mathbf p+\beta m
\]
1.4 Η εξίσωση Dirac
Σε συναλλοίωτη μορφή:
\[
\boxed{
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0
}
\]
1.5 Τι είναι νέο;
Το \(\psi\) δεν είναι βαθμωτό. Είναι σπινόρας με τέσσερις συνιστώσες:
\[
\psi=
\begin{pmatrix}
\psi_1\\
\psi_2\\
\psi_3\\
\psi_4
\end{pmatrix}
\]
Το spin \(1/2\) και τα αντισωματίδια εμφανίζονται φυσικά από την εξίσωση Dirac.
Ενότητα 2 — Μήτρες \(\gamma^\mu\) και άλγεβρα Clifford
2.1 Η απαίτηση
Θέλουμε η εξίσωση Dirac να συνεπάγεται τη σχετικιστική σχέση:
\[
p^2=m^2
\]
2.2 Οι μήτρες gamma
Οι \(\gamma^\mu\) είναι μήτρες που ικανοποιούν:
\[
\boxed{
\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}
=
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu
=
2\eta^{\mu\nu}\mathbf 1
}
\]
Αυτή είναι η άλγεβρα Clifford.
2.3 Τι σημαίνει;
Για \(\eta=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\):
\[
(\gamma^0)^2=1,
\qquad
(\gamma^i)^2=-1
\]
και:
\[
\gamma^\mu\gamma^\nu=-\gamma^\nu\gamma^\mu
\quad\text{για}\quad \mu\neq\nu
\]
2.4 Γιατί χρειάζονται μήτρες;
Αν η εξίσωση είναι γραμμική στην ορμή, τότε για να τετραγωνίζεται σωστά πρέπει οι συντελεστές
της ορμής να μην είναι απλοί αριθμοί, αλλά μήτρες με ειδική άλγεβρα.
2.5 Τετραγώνισμα του τελεστή Dirac
Αν εφαρμόσουμε τον συζυγή τελεστή:
\[
(i\gamma^\mu\partial_\mu+m)(i\gamma^\nu\partial_\nu-m)\psi=0
\]
παίρνουμε:
\[
(\Box+m^2)\psi=0
\]
Άρα κάθε συνιστώσα του σπινόρα ικανοποιεί Klein–Gordon.
Η εξίσωση Dirac δεν αντικαθιστά την Klein–Gordon ως σχέση διασποράς. Είναι «τετραγωνική ρίζα» της για spin \(1/2\).
Ενότητα 3 — Λαγκρανζιανή Dirac
3.1 Dirac adjoint
Το απλό \(\psi^\dagger\psi\) δεν δίνει Lorentz βαθμωτό στη Λαγκρανζιανή.
Ορίζουμε:
\[
\boxed{
\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0
}
\]
3.2 Λαγκρανζιανή
Η ελεύθερη Λαγκρανζιανή Dirac είναι:
\[
\boxed{
\mathcal L_D=
\bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi
}
\]
3.3 Εξίσωση κίνησης
Με μεταβολή ως προς \(\bar\psi\), παίρνουμε:
\[
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0
\]
3.4 Συζυγής εξίσωση
Με μεταβολή ως προς \(\psi\), παίρνουμε:
\[
\bar\psi(i\overleftarrow{\partial_\mu}\gamma^\mu+m)=0
\]
ή:
\[
i(\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu+m\bar\psi=0
\]
3.5 Παγκόσμια \(U(1)\) συμμετρία
Η Λαγκρανζιανή είναι αναλλοίωτη υπό:
\[
\psi\to e^{i\alpha}\psi,
\qquad
\bar\psi\to \bar\psi e^{-i\alpha}
\]
3.6 Ρεύμα Dirac
Το Noether ρεύμα είναι:
\[
\boxed{
j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi
}
\]
και ικανοποιεί:
\[
\partial_\mu j^\mu=0
\]
Στην QED αυτό το ρεύμα είναι η πηγή που συζεύγνυται με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.
Ενότητα 4 — Λύσεις επίπεδου κύματος και σπινόρες
4.1 Αναζήτηση λύσεων
Για ελεύθερο πεδίο δοκιμάζουμε:
\[
\psi(x)=u(p)e^{-ipx}
\]
Βάζοντας στην εξίσωση Dirac:
\[
(\gamma^\mu p_\mu-m)u(p)=0
\]
ή:
\[
\boxed{
(\slashed p-m)u(p)=0
}
\]
4.2 Συμβολισμός slash
Ορίζουμε:
\[
\slashed p=\gamma^\mu p_\mu
\]
4.3 Λύσεις αντισωματιδίων
Υπάρχουν και λύσεις:
\[
\psi(x)=v(p)e^{+ipx}
\]
με:
\[
\boxed{
(\slashed p+m)v(p)=0
}
\]
4.4 Δείκτης spin
Για κάθε ορμή υπάρχουν δύο ανεξάρτητες καταστάσεις spin:
\[
u_s(p),\quad v_s(p),
\qquad s=1,2
\]
4.5 Φυσική ερμηνεία
Σπινόρας Ερμηνεία \(u_s(p)\) σωματίδιο με ορμή \(p\) και spin \(s\) \(v_s(p)\) αντισωματίδιο με ορμή \(p\) και spin \(s\)
Τα αντισωματίδια δεν προστίθενται τεχνητά. Είναι αναπόφευκτο μέρος της σχετικιστικής κβάντωσης του πεδίου Dirac.
Ενότητα 5 — Κβάντωση με αντιμεταθέτες
5.1 Ανάπτυγμα πεδίου
Το κβαντικό πεδίο Dirac γράφεται:
\[
\psi(x)=
\sum_s
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf p}}}
\left[
b_s(\mathbf p)u_s(p)e^{-ipx}
+
d_s^\dagger(\mathbf p)v_s(p)e^{ipx}
\right]
\]
5.2 Ερμηνεία τελεστών
Τελεστής Ρόλος \(b_s^\dagger(\mathbf p)\) δημιουργεί σωματίδιο \(b_s(\mathbf p)\) καταστρέφει σωματίδιο \(d_s^\dagger(\mathbf p)\) δημιουργεί αντισωματίδιο \(d_s(\mathbf p)\) καταστρέφει αντισωματίδιο
5.3 Αντιμεταθέτες
Για φερμιόνια επιβάλλουμε:
\[
\boxed{
\{b_r(\mathbf p),b_s^\dagger(\mathbf q)\}
=
(2\pi)^3\delta_{rs}\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
}
\]
\[
\boxed{
\{d_r(\mathbf p),d_s^\dagger(\mathbf q)\}
=
(2\pi)^3\delta_{rs}\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
}
\]
Όλοι οι άλλοι αντιμεταθέτες μηδενίζονται.
5.4 Γιατί όχι μεταθέτες;
Αν χρησιμοποιούσαμε μεταθέτες, θα είχαμε πρόβλημα με τη θετικότητα της ενέργειας και τη μικροαιτιότητα.
Οι αντιμεταθέτες είναι απαραίτητοι για συνεπή σχετικιστική κβάντωση spin \(1/2\).
5.5 Αρχή Pauli
Από:
\[
\{b^\dagger,b^\dagger\}=0
\]
προκύπτει:
\[
(b^\dagger)^2=0
\]
Άρα δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ίδια φερμιόνια στην ίδια κβαντική κατάσταση.
Οι φερμιονικοί τελεστές δεν μετατίθενται· αντιμετατίθενται. Αυτό είναι η μαθηματική ρίζα της αρχής Pauli.
Ενότητα 6 — Φορτίο, ρεύμα και σύνδεση με QED
6.1 Παγκόσμια \(U(1)\) του Dirac πεδίου
Η μεταβολή:
\[
\psi\to e^{i\alpha}\psi
\]
δίνει διατηρούμενο ρεύμα:
\[
j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi
\]
6.2 Τοπική \(U(1)\)
Αν κάνουμε:
\[
\psi(x)\to e^{i\alpha(x)}\psi(x)
\]
χρειαζόμαστε συναλλοίωτη παράγωγο:
\[
D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu
\]
6.3 Λαγκρανζιανή QED
Η QED γράφεται:
\[
\boxed{
\mathcal L_{\text{QED}}
=
\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi
-
\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
}
\]
6.4 Όρος αλληλεπίδρασης
Επειδή:
\[
i\gamma^\mu D_\mu
=
i\gamma^\mu\partial_\mu
-
e\gamma^\mu A_\mu
\]
ο όρος αλληλεπίδρασης είναι:
\[
\boxed{
\mathcal L_{\text{int}}
=
-e\bar\psi\gamma^\mu A_\mu\psi
}
\]
6.5 Κορυφή QED
Διαγραμματικά, η κορυφή ηλεκτρονίου-φωτονίου έχει παράγοντα:
\[
\boxed{-ie\gamma^\mu}
\]
electron ────•──── electron
|
photon
Τώρα έχουμε όλα τα βασικά υλικά για την QED: πεδίο Dirac, φωτόνιο και τοπική \(U(1)\) συμμετρία.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία
7.1 Τι περιγράφει το πεδίο Dirac;
Το πεδίο Dirac περιγράφει σωματίδια spin \(1/2\), όπως ηλεκτρόνια, μιόνια, νετρίνα στην κατάλληλη μορφή,
και κουάρκ.
7.2 Σωματίδια και αντισωματίδια
Το ίδιο πεδίο περιέχει τελεστές για σωματίδια και αντισωματίδια:
\[
b^\dagger:\ \text{σωματίδιο},
\qquad
d^\dagger:\ \text{αντισωματίδιο}
\]
7.3 Φερμιόνια
Τα φερμιόνια υπακούουν σε αντιμεταθετικές σχέσεις και δεν μπορούν να καταλάβουν την ίδια κατάσταση.
7.4 Διαφορά από βαθμωτό πεδίο
Πεδίο Spin Κβάντωση Στατιστική βαθμωτό \(\phi\) 0 μεταθέτες μποζόνια Dirac \(\psi\) 1/2 αντιμεταθέτες φερμιόνια
7.5 Το μεγάλο μήνυμα
Το πεδίο Dirac ενώνει σχετικότητα, spin, αντισωματίδια και φερμιονική στατιστική.
Είναι ένα από τα θεμέλια της σύγχρονης σωματιδιακής φυσικής.
Μετά το πεδίο Dirac, η QED δεν είναι πια απλώς ηλεκτρομαγνητικό πεδίο· γίνεται θεωρία αλληλεπίδρασης φωτονίων με φορτισμένα φερμιόνια.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Από Dirac σε Klein–Gordon
Δείξτε ότι η εξίσωση Dirac συνεπάγεται την Klein–Gordon για κάθε συνιστώσα.
Λύση
Ξεκινάμε:
\[
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0
\]
Εφαρμόζουμε από αριστερά τον \((i\gamma^\nu\partial_\nu+m)\):
\[
(i\gamma^\nu\partial_\nu+m)(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0
\]
Οι διασταυρούμενοι όροι ακυρώνονται και παίρνουμε:
\[
-\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\nu\partial_\mu\psi-m^2\psi=0
\]
Με την άλγεβρα gamma:
\[
\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\nu\partial_\mu
=
\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu
=
\Box
\]
Άρα:
\[
\boxed{(\Box+m^2)\psi=0}
\]
Άσκηση 2 — Άλγεβρα gamma
Με \(\eta=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\), βρείτε \((\gamma^0)^2\) και \((\gamma^i)^2\).
Λύση
Από:
\[
\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}
\]
για \(\mu=\nu=0\):
\[
2(\gamma^0)^2=2
\Rightarrow
\boxed{(\gamma^0)^2=1}
\]
για χωρικό δείκτη \(i\):
\[
2(\gamma^i)^2=2(-1)
\Rightarrow
\boxed{(\gamma^i)^2=-1}
\]
Άσκηση 3 — Εξίσωση κίνησης από Λαγκρανζιανή Dirac
Δίνεται:
\[
\mathcal L=\bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi
\]
Βρείτε την εξίσωση κίνησης ως προς \(\bar\psi\).
Λύση
Μεταβάλλοντας ως προς \(\bar\psi\):
\[
\delta\mathcal L=
\delta\bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi
\]
Για αυθαίρετο \(\delta\bar\psi\), πρέπει:
\[
\boxed{
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0
}
\]
Άσκηση 4 — Διατήρηση ρεύματος Dirac
Δείξτε ότι \(j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi\) διατηρείται.
Λύση
Υπολογίζουμε:
\[
\partial_\mu j^\mu
=
(\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu\psi
+
\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi
\]
Από την εξίσωση Dirac:
\[
i\gamma^\mu\partial_\mu\psi=m\psi
\]
και από τη συζυγή:
\[
i(\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu=-m\bar\psi
\]
Άρα οι δύο όροι ακυρώνονται:
\[
\boxed{\partial_\mu j^\mu=0}
\]
Άσκηση 5 — Εξίσωση για \(u(p)\)
Αν \(\psi(x)=u(p)e^{-ipx}\), δείξτε ότι \((\slashed p-m)u(p)=0\).
Λύση
Έχουμε:
\[
\partial_\mu\psi=-ip_\mu u(p)e^{-ipx}
\]
Άρα:
\[
i\gamma^\mu\partial_\mu\psi
=
\gamma^\mu p_\mu u(p)e^{-ipx}
=
\slashed p\,u(p)e^{-ipx}
\]
Η Dirac εξίσωση δίνει:
\[
\boxed{(\slashed p-m)u(p)=0}
\]
Άσκηση 6 — Αρχή Pauli από αντιμεταθέτες
Δείξτε ότι δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε δύο ίδια φερμιόνια στην ίδια κατάσταση.
Λύση
Για ίδιο τελεστή δημιουργίας:
\[
\{b^\dagger,b^\dagger\}=0
\]
Δηλαδή:
\[
b^\dagger b^\dagger+b^\dagger b^\dagger=0
\]
Άρα:
\[
2(b^\dagger)^2=0
\Rightarrow
\boxed{(b^\dagger)^2=0}
\]
Άσκηση 7 — QED vertex
Από:
\[
\mathcal L_{\text{int}}=-e\bar\psi\gamma^\mu A_\mu\psi
\]
ποιος είναι ο παράγοντας κορυφής;
Λύση
Στους κανόνες Feynman, ο όρος αλληλεπίδρασης δίνει:
\[
\boxed{-ie\gamma^\mu}
\]
Άσκηση 8 — Διάσταση πεδίου Dirac
Σε \(3+1\) διαστάσεις βρείτε τη μαζική διάσταση του \(\psi\).
Λύση
Η Λαγκρανζιανή έχει διάσταση:
\[
[\mathcal L]=M^4
\]
Ο κινητικός όρος είναι:
\[
\bar\psi i\gamma^\mu\partial_\mu\psi
\]
Άρα:
\[
[\bar\psi]+[\partial]+[\psi]=4
\]
με \([\bar\psi]=[\psi]\) και \([\partial]=1\):
\[
2[\psi]+1=4
\]
\[
\boxed{[\psi]=\frac32}
\]
Μαθηματικό συμπλήρωμα μαθήματος 15
Μ1. Άλγεβρα Clifford
\[
\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\mathbf 1
\]
Μ2. Slash notation
\[
\slashed a=\gamma^\mu a_\mu
\]
Μ3. Dirac adjoint
\[
\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0
\]
Μ4. Dirac equation
\[
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0
\]
Μ5. Momentum-space equations
\[
(\slashed p-m)u_s(p)=0,
\qquad
(\slashed p+m)v_s(p)=0
\]
Μ6. Αντιμεταθέτης
\[
\{A,B\}=AB+BA
\]
Μ7. Φερμιονικοί αντιμεταθέτες
\[
\{b_r(\mathbf p),b_s^\dagger(\mathbf q)\}
=
(2\pi)^3\delta_{rs}\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)
\]
Μ8. Πίνακας πεδίων
Πεδίο Spin Διάσταση σε 4D Στατιστική \(\phi\) 0 1 μποζονική \(A_\mu\) 1 1 μποζονική \(\psi\) 1/2 3/2 φερμιονική
Ευρετήριο βασικών εννοιών