Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: από την παγκόσμια \(U(1)\) συμμετρία
στην τοπική συμμετρία, τη συναλλοίωτη παράγωγο, το πεδίο βαθμίδας \(A_\mu\),
τον τανυστή πεδίου \(F_{\mu\nu}\), την ηλεκτροδυναμική και την αρχή της gauge invariance.
Κεντρικός στόχος
Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι μια παγκόσμια συμμετρία μπορεί να σπάσει αυθόρμητα.
Τώρα βλέπουμε κάτι ακόμη πιο θεμελιώδες: τι συμβαίνει όταν απαιτήσουμε η συμμετρία να ισχύει
ανεξάρτητα σε κάθε σημείο του χωροχρόνου.
Η απαίτηση τοπικής συμμετρίας μάς αναγκάζει να εισαγάγουμε πεδίο βαθμίδας.
Στην \(U(1)\) περίπτωση αυτό είναι το ηλεκτρομαγνητικό δυναμικό \(A_\mu\).
Θα ξεχωρίσουμε παγκόσμια και τοπική συμμετρία.
Θα δείξουμε γιατί η απλή παράγωγος \(\partial_\mu\phi\) δεν μετασχηματίζεται σωστά.
Θα εισαγάγουμε τη συναλλοίωτη παράγωγο \(D_\mu\).
Θα χτίσουμε τη Λαγκρανζιανή της scalar QED και τον τανυστή \(F_{\mu\nu}\).
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Οι τοπικές συμμετρίες είναι η γλώσσα των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων.
Το επόμενο φυσικό βήμα είναι η κβαντική ηλεκτροδυναμική ή οι μη αβελιανές θεωρίες Yang–Mills.
Οδηγίες χρήσης
Διάβασε πρώτα τη διαφορά παγκόσμιας και τοπικής συμμετρίας. Το κεντρικό σημείο είναι να δεις
γιατί η απαίτηση \(\alpha=\alpha(x)\) αναγκάζει την εισαγωγή του \(A_\mu\).
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
αλλάζει το \(A_\mu\), αλλά όχι τα φυσικά πεδία \(F_{\mu\nu}\).
Άρα υπάρχει πλεονασμός περιγραφής.
6.3 Gauge fixing
Για να κάνουμε υπολογισμούς, επιλέγουμε μια συνθήκη βαθμίδας. Παραδείγματα:
Gauge
Συνθήκη
Lorenz gauge
\(\partial_\mu A^\mu=0\)
Coulomb gauge
\(\nabla\cdot\mathbf A=0\)
6.4 Φωτόνιο
Το άμαζο φωτόνιο έχει δύο φυσικές πολώσεις, όχι τέσσερις.
Οι υπόλοιπες συνιστώσες σχετίζονται με gauge πλεονασμό και περιορισμούς.
6.5 Γιατί χρειάζεται στην QFT;
Για να ορίσουμε προπαγανδιστή του \(A_\mu\), πρέπει να αφαιρέσουμε τον πλεονασμό.
Χωρίς gauge fixing ο κινητικός τελεστής δεν αντιστρέφεται σωστά.
Gauge symmetry δεν σημαίνει ότι έχουμε περισσότερες φυσικές καταστάσεις. Σημαίνει ότι έχουμε περισσότερους τρόπους να περιγράψουμε την ίδια φυσική κατάσταση.
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία
7.1 Είναι η gauge symmetry πραγματική συμμετρία;
Η gauge symmetry είναι διαφορετική από μια συνηθισμένη παγκόσμια συμμετρία.
Μια παγκόσμια συμμετρία συνδέει διαφορετικές φυσικές καταστάσεις.
Μια gauge symmetry συνδέει διαφορετικές περιγραφές της ίδιας φυσικής κατάστασης.
7.2 Τοπική σύγκριση φάσεων
Η φάση ενός μιγαδικού πεδίου σε ένα σημείο δεν μπορεί να συγκριθεί άμεσα με τη φάση σε γειτονικό σημείο
χωρίς ένα πεδίο σύνδεσης. Αυτός είναι ο ρόλος του \(A_\mu\).
7.3 Το \(A_\mu\) ως σύνδεση
Το \(A_\mu\) λέει πώς μεταφέρεται η φάση από σημείο σε σημείο.
Η συναλλοίωτη παράγωγος είναι η σωστή παράγωγος όταν υπάρχει αυτή η τοπική ελευθερία φάσης.
7.4 Το \(F_{\mu\nu}\) ως καμπυλότητα
Το \(F_{\mu\nu}\) μετρά το μη τετριμμένο αποτέλεσμα της μεταφοράς φάσης γύρω από μικρό κλειστό βρόχο.
Με γεωμετρική γλώσσα, είναι καμπυλότητα της σύνδεσης.
7.5 Το μεγάλο μήνυμα
Οι θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις στο Καθιερωμένο Πρότυπο περιγράφονται ως gauge θεωρίες:
\[
U(1)\times SU(2)\times SU(3)
\]
Η τοπική συμμετρία είναι ίσως η πιο βαθιά οργανωτική αρχή της σύγχρονης σωματιδιακής φυσικής.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1 — Γιατί η παγκόσμια \(U(1)\) είναι συμμετρία;
Δείξτε ότι ο όρος \(\phi^\ast\phi\) μένει αναλλοίωτος υπό \(\phi\to e^{i\alpha}\phi\).