Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: συμμετρική Λαγκρανζιανή, μη συμμετρικό κενό,
δυναμικό μεξικάνικου καπέλου, επιλογή κενού, μετατόπιση πεδίου, μάζες διεγέρσεων,
θεώρημα Goldstone και σύνδεση με τον μηχανισμό Higgs.
Κεντρικός στόχος
Η αυθόρμητη ρήξη συμμετρίας συμβαίνει όταν οι εξισώσεις έχουν συμμετρία, αλλά η κατάσταση κενού που
επιλέγει το σύστημα δεν την έχει. Αυτό αλλάζει ριζικά το φάσμα των σωματιδίων.
Το πεδίο δεν ταλαντώνεται γύρω από \(\phi=0\), αλλά γύρω από ένα μη μηδενικό κενό
\(\phi=v\). Αυτή η μετατόπιση είναι το κλειδί.
Θα ξεχωρίσουμε συμμετρία Λαγκρανζιανής και συμμετρία κενού.
Θα μελετήσουμε το διπλό πηγάδι και το μεξικάνικο καπέλο.
Θα υπολογίσουμε μάζες διεγέρσεων μετά τη μετατόπιση γύρω από το κενό.
Θα δούμε το θεώρημα Goldstone και την πρώτη ιδέα του Higgs.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Η αυθόρμητη ρήξη συμμετρίας είναι η γέφυρα από τα απλά βαθμωτά πεδία στον μηχανισμό Higgs
και στις θεωρίες βαθμίδας. Στο επόμενο μάθημα μπορούμε να περάσουμε στις τοπικές συμμετρίες
και στα πεδία βαθμίδας.
Οδηγίες χρήσης
Διάβασε πρώτα το πραγματικό πεδίο με διπλό πηγάδι και μετά το μιγαδικό πεδίο \(U(1)\).
Το θεώρημα Goldstone γίνεται πολύ πιο καθαρό αφού δεις το «μεξικάνικο καπέλο».
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Τι σημαίνει αυθόρμητη ρήξη συμμετρίας;
1.1 Η βασική ιδέα
Ένα σύστημα μπορεί να έχει συμμετρικούς νόμους, αλλά η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας να μην είναι συμμετρική.
Τότε λέμε ότι η συμμετρία σπάει αυθόρμητα.
1.2 Συμμετρία Λαγκρανζιανής
Η Λαγκρανζιανή μπορεί να είναι αναλλοίωτη υπό μετασχηματισμό:
\[
\phi\to -\phi
\]
ή:
\[
\phi\to e^{i\alpha}\phi
\]
1.3 Συμμετρία κενού
Το κενό είναι η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Αν το κενό δεν μένει ίδιο υπό τη συμμετρία,
τότε η συμμετρία είναι αυθόρμητα σπασμένη.
1.4 Κεντρική διάκριση
Αντικείμενο
Μπορεί να έχει συμμετρία;
Λαγκρανζιανή
ναι
εξισώσεις κίνησης
ναι
κενό
όχι απαραίτητα
1.5 Απλή εικόνα
Ένα μολύβι όρθιο πάνω στη μύτη του έχει συμμετρική κατάσταση ως προς όλες τις οριζόντιες διευθύνσεις.
Όταν πέσει, επιλέγει μία συγκεκριμένη κατεύθυνση. Οι νόμοι ήταν συμμετρικοί· η τελική κατάσταση όχι.
Στη θεωρία πεδίου, το «πού πέφτει το μολύβι» αντιστοιχεί στο ποια τιμή παίρνει το πεδίο στο κενό.
Δεν υπάρχει γραμμικός όρος σε \(h\), επειδή το \(v\) είναι ελάχιστο.
Ο τετραγωνικός όρος δίνει τη μάζα.
Οι όροι \(h^3\), \(h^4\) δίνουν αυτοαλληλεπιδράσεις του νέου πεδίου.
Η φυσική περιγραφή πρέπει να γίνεται γύρω από το σωστό κενό, όχι γύρω από το ασταθές \(\phi=0\).
Στο μεξικάνικο καπέλο, η ενέργεια δεν αλλάζει όταν κινούμαστε κατά μήκος της κυκλικής κοιλάδας κενού.
Άρα η καμπυλότητα σε αυτή τη διεύθυνση είναι μηδέν.
όταν \(\phi\) έχει μη μηδενικό κενό, παράγει όρο μάζας για το πεδίο βαθμίδας:
\[
\frac12 e^2v^2 A_\mu A^\mu
\]
6.4 Το Goldstone εξαφανίζεται;
Στην τοπική συμμετρία, ο Goldstone τρόπος δεν εμφανίζεται ως φυσικό άμαζο σωματίδιο.
«Απορροφάται» από το πεδίο βαθμίδας, το οποίο αποκτά μάζα και επιπλέον βαθμό ελευθερίας.
Αυτό είναι το πρότυπο της ιδέας που στο Καθιερωμένο Πρότυπο δίνει μάζα στα \(W^\pm\) και \(Z\).
Ενότητα 7 — Φυσική ερμηνεία
7.1 Το κενό δεν είναι άδειο
Στη θεωρία πεδίου, το κενό μπορεί να έχει μη μηδενική τιμή πεδίου:
\[
\langle\phi\rangle=v\neq0
\]
Αυτό αλλάζει τις διεγέρσεις που αντιλαμβανόμαστε ως σωματίδια.
7.2 Το φάσμα εξαρτάται από το κενό
Αν αναπτύξουμε γύρω από λάθος σημείο, βλέπουμε ασταθείς ή μη φυσικούς τρόπους.
Αν αναπτύξουμε γύρω από το σωστό κενό, οι μάζες βγαίνουν από την καμπυλότητα.
7.3 Φάσεις μιας θεωρίας
Η ίδια Λαγκρανζιανή μορφή μπορεί να έχει διαφορετικές φάσεις ανάλογα με τις παραμέτρους:
Παράμετρος
Κενό
Συμμετρία
\(m^2>0\)
\(\phi=0\)
άσπαστη
\(m^2<0\)
\(\phi=\pm v\)
σπασμένη
7.4 Η ρήξη δεν είναι explicit
Στην αυθόρμητη ρήξη, η Λαγκρανζιανή έχει ακόμη τη συμμετρία.
Αν προσθέταμε όρο που δεν έχει τη συμμετρία, τότε θα μιλούσαμε για ρητή ή explicit ρήξη.
7.5 Το βασικό μήνυμα
Η φυσική δεν καθορίζεται μόνο από τη Λαγκρανζιανή, αλλά και από το κενό γύρω από το οποίο γίνεται η κβάντωση.
Η αυθόρμητη ρήξη συμμετρίας είναι ένας από τους τρόπους με τους οποίους η φύση κρύβει συμμετρίες που υπάρχουν στους νόμους.