Αναλυτικό μάθημα για πτυχιούχο Φυσικό: πώς μετατρέπουμε μια διαδικασία σκέδασης σε διάγραμμα,
πώς γράφουμε το αντίστοιχο μαθηματικό πλάτος, πώς εμφανίζονται οι συμμετρικοί παράγοντες,
και πώς ξεκινά η σύνδεση με διατομές.
Κεντρικός στόχος
Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι η \(\lambda\phi^4\) θεωρία δίνει κορυφές με τέσσερα πόδια.
Τώρα μαθαίνουμε πώς από ένα διάγραμμα Feynman γράφουμε ένα πλάτος σκέδασης.
Το βασικό παράδειγμα θα είναι η σκέδαση \(2\to2\) στη θεωρία \(\lambda\phi^4\).
Θα μάθουμε να διαβάζουμε εξωτερικές και εσωτερικές γραμμές.
Θα γράφουμε κανόνες Feynman σε χώρο ορμής.
Θα υπολογίσουμε το tree-level πλάτος \(2\to2\).
Θα εισάγουμε συμμετρικούς παράγοντες, loops και τη σχέση με διατομές.
Θέση του μαθήματος στη σειρά
Με αυτό το μάθημα ολοκληρώνεται η πρώτη πρακτική εικόνα των διαγραμμάτων Feynman.
Το επόμενο φυσικό βήμα είναι η ανακανονικοποίηση: γιατί τα loops αποκλίνουν και πώς απορροφούμε τις αποκλίσεις σε φυσικές παραμέτρους.
Οδηγίες χρήσης
Το μάθημα είναι πρακτικό. Διάβασε πρώτα τους κανόνες, μετά το tree-level \(2\to2\),
και τέλος τις ασκήσεις όπου οι κανόνες εφαρμόζονται βήμα προς βήμα.
Η σελίδα είναι αυτόνομη HTML με MathJax, fullscreen και αναδυόμενες ενότητες.
Ενότητα 1 — Από φυσική διαδικασία σε διάγραμμα
1.1 Τι είναι ένα διάγραμμα Feynman;
Ένα διάγραμμα Feynman είναι λογιστικό εργαλείο. Δεν είναι φωτογραφία μιας τροχιάς.
Είναι τρόπος να οργανώσουμε έναν όρο της διαταρακτικής σειράς.
1.2 Εξωτερικές γραμμές
Οι εξωτερικές γραμμές αντιστοιχούν σε πραγματικά εισερχόμενα ή εξερχόμενα σωματίδια.
Είναι on-shell:
\[
p_i^2=m^2
\]
1.3 Εσωτερικές γραμμές
Οι εσωτερικές γραμμές αντιστοιχούν σε προπαγανδιστές.
Η ορμή τους γενικά είναι off-shell:
Σχεδιάζω όλα τα διαγράμματα στην τάξη που με ενδιαφέρει
2
Βάζω παράγοντα για κάθε κορυφή
3
Βάζω προπαγανδιστή για κάθε εσωτερική γραμμή
4
Επιβάλλω διατήρηση ορμής
5
Ολοκληρώνω σε ανεξάρτητες εσωτερικές ορμές
6
Διαιρώ με συμμετρικό παράγοντα, αν υπάρχει
Ενότητα 3 — Tree-level \(2\to2\) σκέδαση στη \(\lambda\phi^4\)
3.1 Η διαδικασία
Θεωρούμε:
\[
p_1+p_2\to p_3+p_4
\]
Όλες οι εξωτερικές ορμές είναι on-shell:
\[
p_i^2=m^2
\]
3.2 Το διάγραμμα πρώτης τάξης
p3
\
p1 ------•------ p4
/
p2
Υπάρχει μία κορυφή και καμία εσωτερική γραμμή.
3.3 Γράφουμε το πλάτος
Από την κορυφή παίρνουμε:
\[
-i\lambda
\]
Το πλήρες στοιχείο S-matrix έχει μορφή:
\[
\langle f|S|i\rangle
=
\mathbf{1}
+
i(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)\mathcal M
\]
Για το tree-level διάγραμμα:
\[
i\mathcal M=-i\lambda
\]
Άρα:
\[
\boxed{\mathcal M=-\lambda}
\]
3.4 Προσοχή στη σύμβαση
Πολλά βιβλία ονομάζουν απευθείας το vertex contribution:
\[
-i\lambda
\]
ως πλάτος. Άλλα ξεχωρίζουν το \(i\mathcal M\).
Πρέπει πάντα να ελέγχεις τη σύμβαση:
\[
i\mathcal M = \text{άθροισμα διαγραμμάτων}
\]
Στη φυσική διατομή εμφανίζεται το \(|\mathcal M|^2\), οπότε ένα συνολικό πρόσημο του \(\mathcal M\)
δεν επηρεάζει το απλούστερο αποτέλεσμα, αλλά επηρεάζει παρεμβολές με άλλα διαγράμματα.
Ενότητα 4 — Mandelstam μεταβλητές
4.1 Γιατί τις χρειαζόμαστε;
Σε σχετικιστική σκέδαση θέλουμε μεγέθη Lorentz αναλλοίωτα.
Για \(2\to2\) σκέδαση χρησιμοποιούμε τις Mandelstam μεταβλητές.
4.2 Ορισμοί
\[
\boxed{s=(p_1+p_2)^2}
\]
\[
\boxed{t=(p_1-p_3)^2}
\]
\[
\boxed{u=(p_1-p_4)^2}
\]
4.3 Φυσική σημασία του \(s\)
Στο κέντρο μάζας, για δύο εισερχόμενα σωματίδια:
\[
\sqrt{s}=E_{\text{ολικό}}
\]
Δηλαδή το \(s\) είναι το τετράγωνο της ολικής ενέργειας στο κέντρο μάζας.
4.4 Σχέση \(s+t+u\)
Για \(2\to2\) με ίσες μάζες \(m\):
\[
\boxed{s+t+u=4m^2}
\]
4.5 Στη \(\lambda\phi^4\) tree-level
Στο απλούστερο tree-level διάγραμμα:
\[
\mathcal M=-\lambda
\]
Δεν υπάρχει εξάρτηση από \(s,t,u\). Η αλληλεπίδραση είναι σημειακή στο tree-level.
Σε άλλες θεωρίες ή σε μεγαλύτερη τάξη, το \(\mathcal M\) αποκτά μη τετριμμένη εξάρτηση από \(s,t,u\).
Ενότητα 5 — Συμμετρικοί παράγοντες
5.1 Γιατί εμφανίζονται;
Στα διαγράμματα Feynman μπορεί να υπάρχουν εσωτερικές συμμετρίες:
τρόποι να ανταλλάξουμε ίδιες γραμμές ή ίδιες κορυφές χωρίς να αλλάξει το διάγραμμα.
5.2 Η ιδέα
Αν ένα διάγραμμα μετριέται πολλές φορές από το ανάπτυγμα Dyson και τις συστολές Wick,
πρέπει να διαιρέσουμε με τον αριθμό αυτών των ισοδύναμων μετρήσεων.
Σε \(\lambda\phi^4\), ένα loop που γυρίζει στην ίδια κορυφή έχει εσωτερική ανταλλαγή
που δημιουργεί παράγοντα συμμετρίας.
|
|
•───○
|
|
Τέτοια διαγράμματα εμφανίζονται σε διορθώσεις μάζας.
5.5 Πρακτική συμβουλή
Στην αρχή, για tree-level διαγράμματα με καθαρές εξωτερικές γραμμές, οι συμμετρικοί παράγοντες
συχνά είναι απλοί. Στα loops χρειάζεται μεγαλύτερη προσοχή.
Οι συμμετρικοί παράγοντες είναι από τα πιο συχνά σημεία λαθών στους πρώτους υπολογισμούς Feynman.
Ενότητα 6 — Από το \(\mathcal M\) στη διατομή
6.1 Τι είναι το \(\mathcal M\);
Το \(\mathcal M\) είναι invariant amplitude. Δεν είναι ακόμη άμεσα πιθανότητα.
Η πιθανότητα σχετίζεται με:
\[
|\mathcal M|^2
\]
6.2 Διατομή
Η διατομή είναι φυσικό μέγεθος που μετρά πόσο πιθανή είναι μια διαδικασία σκέδασης.
Για \(2\to2\), στο κέντρο μάζας και για ίσες μάζες, μια συνηθισμένη μορφή είναι:
Αν τα δύο τελικά σωματίδια είναι ταυτόσημα, συχνά μπαίνει επιπλέον παράγοντας \(1/2!\)
στη συνολική διατομή για να μην μετράμε διπλά την ίδια τελική κατάσταση.
Το \(\mathcal M\) είναι το θεωρητικό αντικείμενο που βγαίνει από τα διαγράμματα.
Η διατομή είναι το αντικείμενο που συνδέεται με το πείραμα.
Ενότητα 7 — Loops και αποκλίσεις
7.1 Τι είναι loop;
Loop είναι κλειστός κύκλος εσωτερικών γραμμών.
Κάθε ανεξάρτητο loop φέρνει ολοκλήρωμα:
\[
\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}
\]
7.2 Παράδειγμα one-loop διόρθωσης
Στη \(\lambda\phi^4\) υπάρχουν one-loop διορθώσεις σε:
Ποσότητα
Τύπος διόρθωσης
προπαγανδιστής
διόρθωση μάζας
κορυφή \(2\to2\)
διόρθωση σύζευξης \(\lambda\)
7.3 Γιατί αποκλίνουν;
Τα loop ολοκληρώματα περιλαμβάνουν όλες τις εσωτερικές ορμές, ακόμη και πολύ μεγάλες:
\[
|\ell|\to\infty
\]
Συχνά το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει στο υπεριώδες.
7.4 Υπεριώδεις αποκλίσεις
Οι αποκλίσεις μεγάλων ορμών λέγονται UV divergences.
Δεν σημαίνουν απλώς ότι η θεωρία είναι άχρηστη. Σημαίνουν ότι πρέπει να ορίσουμε προσεκτικά
τις φυσικές παραμέτρους.
7.5 Ανακανονικοποίηση
Η ανακανονικοποίηση είναι η διαδικασία με την οποία: